更新履歴

日付け	更新内容
2024/05/03	商位相の応用
2024/04/24	商位相
2024/04/18	天球座標（訂正）
2024/04/18	位相の誘導
2024/04/15	問題：相対位相・部分空間（修正）
2024/04/11	問題：距離づけ問題
2024/04/09	ウリゾーンの距離化定理（2）
2024/04/07	距離付け問題
2024/04/02	内積
2024/03/25	問題：バナッハ空間
2024/03/22	問題：ノルム空間
2024/03/19	バナッハ空間
2024/03/16	ノルム空間の例
2024/03/15	ベクトル空間の例（改訂）
2024/03/14	ベクトル空間の例
2024/03/11	ミンコフスキーの不等式
2024/03/10	ノルム空間
2024/03/08	完全有向点列
2024/03/06	極大フィルター
2024/03/01	ルベーグ被覆補題
2024/02/27	距離空間の完備化 (2)
2024/02/26	距離空間の完備化 (1)
2024/02/25	二重数列の収束
2024/02/17	コンパクト性の同等条件
2024/02/16	点列コンパクト
2024/02/14	問題：全有界
2024/02/12	問題：一様連続・完備
2024/02/09	距離関数の一様同値（修正）
2024/02/08	距離関数の一様同値
2024/02/07	距離関数の同値（改訂）
2024/02/04	全有界性と点列
2024/01/31	全有界距離空間（修正）
2024/01/28	全有界距離空間
2024/01/23	完備距離空間
2024/01/19	三角不等式
2024/01/19	一様位相的性質
2024/01/18	コンパクト位相空間（追加）
2024/01/17	一様連続性
2024/01/14	問題：距離空間におけるコンパクト集合
2024/01/13	問題：問題：部分集合の直径と部分集合間の距離
2024/01/04	距離空間の正規性
2024/01/03	部分集合の間の距離
2024/01/01	距離空間における部分集合の直径
2023/12/30	直積位相（追加）
2023/12/30	相対位相（追加）
2023/12/29	誘導位相（改訂）
2023/12/28	点列の収束（改訂）
2023/12/27	問題：距離空間とその位相
2023/12/25	距離空間における内点・外点・触点・境界点
2023/12/21	問題：位相空間（修正）
2023/12/20	フィルター
2023/12/17	有向集合と有向点列
2023/12/14	問題：位相空間（改訂）
2023/12/10	部分距離空間と直積距離空間
2023/12/08	距離関数の同値
2023/12/06	距離空間の間の連続写像
2023/12/04	点列の収束
2023/12/02	距離空間における位相の導入
2023/11/26	距離空間
2023/11/24	正則空間と正規空間（改訂）
2023/11/24	同値性の示し方
2023/11/23	ウリゾーンの距離化定理
2023/11/19	問題：分離公理
2023/11/10	連続写像（改訂）
2023/11/09	直積位相（修正2）
2023/11/05	問題：コンパクト性（修正）
2023/11/04	ウリゾーンの補題
2023/10/28	正則空間と正規空間
2023/10/24	コンパクト性とハウスドルフ空間（修正）
2023/10/23	$T_1$ 空間とハウスドルフ空間
2023/10/20	問題：コンパクト性
2023/10/16	コンパクト化の問題
2023/10/12	位相空間 $\mathbb{R}^n$ のコンパクトな部分空間
2023/10/08	コンパクト性とハウスドルフ空間
2023/10/06	コンパクト空間の連続像とチコノフの定理
2023/10/04	問題：ツォルンの補題、テューキーの補題（修正）
2023/10/04	部分集合に関する有限的性質（条件）（修正）
2023/10/02	コンパクト位相空間
2023/09/27	問題：凸集合
2023/09/14	弧状連結（修正）
2023/09/24	問題：連結性
2023/09/19	連結位相空間（改訂）
2023/09/14	弧状連結
2023/09/10	問題：$\mathbb{R}^{n}$ における開集合、閉集合（改訂2）
2023/09/08	位相空間 $\mathbb{R}$ の連結部分集合
2023/09/05	問題：$\mathbb{R}^{n}$ における開集合、閉集合（改訂）
2023/09/05	連結空間族の直積空間
2023/09/03	連連結成分
2023/09/02	連結性に関する諸定理
2023/09/01	連結位相空間
2023/08/30	問題：直積位相・直積空間
2023/08/29	写像に関するその他の概念（改訂）
2023/08/20	直積位相（修正）
2023/08/19	問題：相対位相・部分空間
2023/08/17	連続写像（修正）
2023/08/16	実連続関数（修正）
2023/08/11	直積位相
2023/08/07	相対位相
2023/08/05	誘導位相
2023/08/04	順序集合（修正）
2023/08/04	順序集合とハッセ図（修正）
2023/08/03	問題：連続写像・開写像・閉写像・同相写像
2023/08/02	同相写像（修正）
2023/08/01	連続写像（修正）
2023/07/30	同相写像
2023/07/28	部分集合の順像と逆像（修正）
2023/07/28	開写像・閉写像
2023/07/26	実連続関数
2023/07/23	連続写像
2023/07/23	可分位相空間（修正）
2023/07/23	部分集合の順像と逆像（修正）
2023/07/21	問題：位相の強弱・生成・基底・基本近傍系
2023/07/16	近傍（修正）
2023/07/13	可分位相空間
2023/07/11	基本近傍系
2023/07/08	第 2 可算公理
2023/07/05	位相（修正）
2023/07/05	位相の準基底・基底
2023/07/01	位相の生成
2023/06/29	位相の強弱
2023/06/26	閉集合・閉包（修正）
2023/06/25	問題：位相空間
2023/06/22	閉集合・閉包（修正）
2023/06/20	位相構造の定め方
2023/06/20	近傍
2023/06/13	内点・触点
2023/06/10	閉集合・閉包
2023/06/06	開集合・開核
2023/06/03	位相
2023/05/31	問題： $\mathbb{R}^{n}$ における開集合、閉集合
2023/05/29	連続関数と開集合
2023/05/27	開核・閉包の特徴づけと開集合系の基底
2023/05/25	$\mathbb{R}^{n}$ の開集合・閉集合
2023/05/21	$\mathbb{R}^{n}$ の部分集合の閉包
2023/05/20	$\mathbb{R}^{n}$ の部分集合の内部（開核）・外部・境界
2023/05/18	$n$ 次元ユークリッド空間 $\mathbb{R}^{n}$ と距離
2023/05/17	位相空間　ーはじめにー
2023/05/16	順序数と濃度
2023/05/13	順序数の累乗
2023/05/07	$\mathbb{N}_{0}$ 上で帰納的に定義される関数（修正）
2023/05/06	順序数上の超限帰納法
2023/05/02	整列定理 (2)
2023/04/28	順序数（改訂）
2023/04/27	$\mathbb{N}_{0}$ 上で帰納的に定義される関数
2023/04/25	順序数の積の性質
2023/04/24	順序数の積
2023/04/18	ベクトル空間の直積と直和の例
2023/04/17	ベクトル空間の直積と直和
2023/04/12	集合族における直積と直和
2023/04/10	選択公理による証明 (5)
2023/04/09	選択公理による証明 (4)
2023/04/07	整列定理（修正）
2023/04/07	選択公理による証明 (3)
2023/04/04	選択公理による証明 (2)
2023/04/03	選択公理による証明 (1)（改訂）
2023/04/03	グラフによる関数の表現（改訂）
2023/04/02	グラフによる関数の表現
2023/04/01	選択公理による証明 (1)
2023/03/30	濃度の和と積（修正）
2023/03/29	写像の対応関係を表示する方法（修正）
2023/03/28	可算集合とその性質（改訂）
2023/03/27	集合系と集合族（追加）
2023/03/27	可算集合とその性質（修正）
2023/03/26	集合系と集合族（修正）
2023/03/25	直積と選択公理（修正）
2023/03/25	問題：写像・集合族・直積・選択公理（修正）
2023/03/24	ツォルンの補題の応用 (I)　ー濃度の和と積ー（修正）
2023/03/23	問題：写像・集合族・直積・選択公理（修正）
2023/03/22	問題：整列集合（修正）
2023/03/22	順序数の和
2023/03/16	順序数
2023/03/13	集合とクラス
2023/03/06	おみあげ算
2023/03/05	ツォルンの補題の応用 (III) 　ーベクトル空間ー
2023/03/01	ツォルンの補題の応用 (II) 　ー群論ー（追加）
2023/02/28	ツォルンの補題の応用 (II) 　ー群論ー
2023/02/27	選択公理（表示修正）
2023/02/27	kd-Tree による最近接点の探索（表示修正）
2023/02/27	kd-Tree 表示プログラム（表示修正）
2023/02/27	Python による SkyServer からのデータ取得方法（表示修正）
2023/02/27	写像の対応関係を表示する方法
2023/02/24	ツォルンの補題による証明パターン
2023/02/23	ツォルンの補題の応用 (I) 　-濃度の和と積-
2023/02/20	集合系とその和集合
2023/02/19	問題7 （修正）
2023/02/16	部分集合に関する有限的性質（条件）
2023/02/14	テューキーの補題（修正2）
2023/02/14	整列定理
2023/02/12	集合の濃度（修正）
2023/02/11	整列集合における補題（追加）
2023/02/11	テューキーの補題（修正）
2023/02/11	ツォルンの補題の変形
2023/02/08	テューキーの補題
2023/02/06	ツォルンの補題
2023/01/29	整列集合における補題
2023/01/26	問題6
2023/01/25	問題3 ：可算集合・非可算集合（改訂）
2023/01/23	整列集合の比較定理（改訂）
2023/01/22	整列集合（改訂）
2023/01/21	整列集合の比較定理
2023/01/18	整列集合
2023/01/15	問題5
2023/01/10	順序集合とハッセ図（改訂）
2023/01/09	順序集合とハッセ図
2023/01/06	順序集合
2022/12/28	球面三角形
2022/12/27	問題4
2022/12/25	濃度の巾（修正）
2022/12/24	無限の濃度に関する演算
2022/12/21	濃度の巾
2022/12/19	濃度の和と積
2022/12/13	問題3
2022/12/12	可算集合とその性質（修正）
2022/12/10	非可算集合
2022/12/08	可算集合とその性質
2022/12/07	集合の濃度（改訂）
2022/12/05	問題2（修正）
2022/12/04	ベルンシュテインの定理（改訂）
2022/12/04	問題2
2022/11/30	集合の濃度
2022/11/28	ベルンシュテインの定理
2022/11/27	集合の対等
2022/11/23	写像の分解
2022/11/21	同値関係（修正）
2022/11/20	写像に関するその他の概念
2022/11/16	問題1
2022/11/08	部分集合の順像と逆像（修正）
2022/11/07	部分集合の順像と逆像
2022/11/02	集合の演算
2022/10/24	関数
2022/10/18	数学的帰納法の使用例
2022/10/16	数学的帰納法
2022/10/12	剰余類（$n$ を法とした整数）
2022/10/11	合同式
2022/10/09	同値関係（修正）
2022/10/08	同値関係
2022/10/02	選択公理
2022/09/26	直積と選択公理（修正）
2022/09/25	集合系と集合族（修正）
2022/09/25	直積と選択公理
2022/09/21	集合系と集合族
2022/06/12	微分形式 (III) ーマクスウェル方程式ー
2022/06/09	微分形式 (II) ー外微分ー
2022/06/06	極性ベクトルと軸性ベクトル
2022/06/03	レビ-チビタ記号と行列式（追加）
2022/06/02	微分形式 (I) -$n$ ベクトルと $n$ フォーム
2022/05/22	レビ-チビタ記号と行列式
2022/05/19	光子のスピン演算子
2022/05/15	光の角運動量と運動量
2022/05/13	非同次定数係数 2 階微分方程式（改訂）
2022/05/11	非同次定数係数 2 階微分方程式
2022/05/06	平面波の場のなかの電荷の運動（改訂3）
2022/05/04	平面波の場のなかの電荷の運動（改訂2）
2022/05/03	平面波の場のなかの電荷の運動（改訂）
2022/05/02	平面波の場のなかの電荷の運動
2022/04/26	電磁波の偏光
2022/04/22	右回り・左回り（改訂）
2022/04/22	楕円偏光の計算（修正）
2022/04/21	楕円偏光の計算
2022/04/20	右回り・左回り
2022/04/17	ルジャンドル陪多項式の直交性(II)
2022/04/17	ルジャンドル陪多項式の直交性(I) （修正）
2022/04/16	ルジャンドル陪多項式の対称性
2022/04/16	ルジャンドル多項式の直交性（改訂）
2022/04/16	ルジャンドル多項式の直交性証明に必要な微分公式
2022/04/16	ライプニッツの微分公式
2022/04/15	ルジャンドル陪多項式の直交性 (I)（改訂）
2022/04/14	ルジャンドル陪多項式の直交性 (II)
2022/04/14	ルジャンドル多項式の直交性（修正）
2022/04/12	ルジャンドル多項式の直交性
2022/04/11	ルジャンドル陪多項式の直交性（改訂）
2022/04/10	ルジャンドル陪多項式の直交性
2022/04/08	ルジャンドル多項式の直交性証明に必要な微分公式
2022/04/05	ミー散乱 (VIII) -消散効率因子-
2022/03/28	ミー散乱 (VII) -散乱振幅、微分断面積-
2022/03/27	ミー散乱 (VI) -散乱、消散断面積
2022/03/25	ミー散乱 (II) -散乱強度-（修正）
2022/03/25	ルジャンドル多項式およびルジャンドル陪多項式の漸化式（改訂）
2022/03/24	遠方における平面波の極座標表示
2022/03/23	消散、散乱、吸収
2022/03/21	極座標表示における遠方電磁場
2022/03/20	極座標上での電場と磁束密度の一般解（修正）
2022/03/19	ルジャンドル多項式およびルジャンドル陪多項式の漸化式（改定）
2022/03/19	エネルギー保存則とポインティング・ベクトル
2022/03/17	ベッセル関数(XI) ーベッセル関数のロンスキー行列式ー
2022/03/16	ミー散乱 (II) -散乱強度-（修正）
2022/03/16	ベッセル関数(II) ーベッセル関数の級数表示ー（修正）
2022/03/15	ルジャンドル多項式およびルジャンドル陪多項式の漸化式（改定）
2022/03/13	複素屈折率の波長依存性を考慮した水滴の消散効率（extinction efficiency） Qext の計算
2022/03/13	sicpy によるミー散乱の消散効率（extinction efficiency） Qext の計算
2022/03/11	sicpy によるミー散乱強度の角度分布の計算
2022/03/10	ミー散乱 (V) -数値計算プログラム（改定）
2022/03/09	第一種リッカチ・ベッセル関数の対数微分
2022/03/08	ミー散乱 (V) -数値計算プログラム
2022/03/07	ベッセル関数(VIII) ーリッカチ・ベッセル関数ー（修正）
2022/03/05	ルジャンドル多項式およびルジャンドル陪多項式の漸化式
2022/03/02	ミー散乱(IV)
2022/02/28	ミー散乱における散乱強度の数値計算（2）
2022/02/28	ミー散乱における散乱強度の数値計算（改定）
2022/02/27	ミー散乱における散乱強度の数値計算
2022/02/25	ミー散乱(III)
2022/02/23	ミー散乱(II)
2022/02/21	ベッセル関数(VIII) ーリッカチ・ベッセル関数ー
2022/02/20	ベッセル関数(VII) ー球面ベッセル関数ー（改訂）
2022/02/18	ミー散乱(II) （途中）
2022/02/17	ミー散乱(I) （修正）
2022/02/16	ミー散乱(I) （追加）
2022/02/15	ミー散乱(I)
2022/02/13	平面波の極座標系への展開（改訂）
2022/02/12	電磁場の境界条件（改訂2）
2022/02/11	導体内の波動伝播
2022/02/08	電磁場の境界条件（改訂）
2022/02/02	電磁場の境界条件
2022/01/29	平面波の極座標系への展開
2022/01/23	構成ベクトルの直交性（改訂）
2022/01/22	構成ベクトルの直交性
2022/01/19	レイリーの公式（改定）
2022/01/19	ルジャンドル陪関数の公式
2022/01/18	極座標上での電場と磁束密度の一般解
2022/01/15	ベクトル波動方程式（改定）
2022/01/14	ベクトル波動方程式
2022/01/05	ローレンツの電場
2022/01/04	物質中のマクスウェル方程式（改定）
2022/01/03	物質中のマクスウェル方程式
2022/01/01	静止物体中の電磁場（改定）
2021/12/30	静止物体中の電磁場
2021/12/27	点電荷と電磁場の共存する体系
2021/12/26	直交曲線座標におけるベクトル
2021/12/21	ラプラス演算子に関する注意事項
2021/12/20	勾配と方向微分係数
2021/12/19	陰関数定理（I）ー簡易版ー
2021/12/15	グリーン関数の部分波展開
2021/12/12	レイリーの公式
2021/12/11	ヘルムホルツ方程式の一般解（極座標表示）
2021/12/10	ラプラス方程式の一般解（極座標表示）
2021/12/07	ベッセル関数(VII)
2021/12/06	ベッセル関数(VI)
2021/12/06	ベッセル関数(V)
2021/12/05	ベッセル関数(IV) （改定）
2021/12/04	ベッセル関数(IV)
2021/11/29	ベッセル関数(III)
2021/11/22	多価関数とリーマン面（改定3）
2021/11/21	多価関数とリーマン面（改定2）
2021/11/20	ベッセル関数(II) （改定2）
2021/11/20	多価関数とリーマン面（改定）
2021/11/19	多価関数とリーマン面
2021/11/14	ベッセル関数(II) （改定）
2021/11/08	ベッセル関数(II)
2021/11/06	ベッセル関数(I)（改定）
2021/11/03	ベッセル関数(I)
2021/11/01	ケプラー問題（改定）
2021/10/30	パラメータを含む積分
2021/10/29	関数列と関数項級数
2021/10/24	n 階線形常微分方程式の独立解
2021/10/22	運動する点電荷の電場に対するファインマンの表現（改定）
2021/03/20	同値な命題
2021/03/13	命題論理：「ならば」
2021/03/12	集合列の極限
2021/02/20	限定作用素「すべての」と「ある」
2021/02/16	論理記号の真理表
2021/02/06	Lxy でのヤング図形・ブラケットの書き方
2020/11/02	コーシーの主値とデルタ関数の関係
2020/11/01	ルジャンドル多項式の加法定理
2020/10/17	ラプラス演算子の極座標表示（改訂）
2020/10/13	軌道角運動量演算子の極座標表示
2020/10/12	ラプラス演算子の極座標表示
2020/03/06	WMAP 全天データからの Power Spectrum の導出 (GitHub Gist)
2020/03/05	WMAP 全天データからの Power Spectrum の導出
2020/03/03	Spherical Harmonics Expansion に対するマスクおよびビーム補正
2020/02/20	マスクデータに対する Spherical Harmonics Expansion(2)
2020/02/05	Spherical Harmonics Expansion に対するビーム補正
2020/01/29	マスクデータに対する Spherical Harmonics Expansion
2020/01/25	WMAP : Spherical Harmonics Expansion
2020/01/22	WMAP 衛星データの表示と解析(改訂)
2020/01/21	WMAP 衛星データの表示と解析
2020/01/16	モルワイデ図法による球面調和関数の表示
2020/01/15	FITS ファイルからのデータの読み込み・表示・座標計算・全天図への配置（改定版）
2020/01/14	モルワイデ図法
2020/01/13	天球座標から局所球面座標への変換（改定版）
2020/01/11	天球座標（改定版）
2020/01/08	天球座標から局所球面座標への変換
2020/01/05	天球座標
2019/12/26	FITS ファイルからのデータの読み込み・表示・座標計算・全天図への配置
2019/12/22	地域気象観測システム（アメダス）の降水量データの地図上への表示
2019/12/21	地域気象観測システム（アメダス）の風速データの地図上への表示
2019/12/19	衛星画像への等高線、断面標高、3D 標高の表示
2019/12/18	富士山の標高グラフ
2019/12/17	つばめ（SLATS）衛星データの取得と表示（改定）
2019/12/12	Tellus による衛星データの取得と衛星画像処理
2019/12/09	ジェネレータ関数とジェネレータイテレータ
2019/12/08	イテレータとは
2019/12/07	matplotlib の文字化け対策
2019/12/06	Keras によるモデル化
2019/12/05	TensorFlow 1.x と TensorFlow 2.0 の比較
2019/12/04	TensorFlow 2.0 での GPU メモリの制限
2019/12/01	Tensorflow 2.0 で SSD を使用するための修正点
2019/11/27	Basemap のインストール方法
2019/11/19	condaによるインストール時のRemoveErrorの対処法
2019/11/16	単精度浮動小数点数
2019/11/07	CUDA Templateの利用法
2019/11/04	1次元反強磁性ハイゼンベルグモデルの厳密解(改訂)
2019/10/31	Windows10へのCUDA&TensorFlow&CuPyのインストール(改訂)
2019/10/30	Windows10へのCUDA&TensorFlowのインストール
2019/10/28	TensorFlow 1.13.1 での GPU 動作の確認プログラム
2019/10/26	Jupyter Notebook の設定
2019/10/22	Inkscape ( Win10 ) での LaTeX の使用方法
2019/10/17	モデルフリーな制御 (3)
2019/10/14	モデルフリーな制御 (2)
2019/10/13	モデルフリーな制御 (1)
2019/10/10	ベルマン方程式（改訂2）
2019/10/09	TD 学習
2019/10/06	モンテカルロ法コード
2019/10/06	モンテカルロ法
2019/10/01	動的計画法:価値反復法（簡単な例）
2019/09/30	価値反復法（簡単な例）
2019/09/29	動的計画法（簡単な例）
2019/09/28	動的計画法（簡単な例）
2019/09/26	ベルマン方程式（改訂）
2019/09/25	動的計画法（Dynamic Programming : DP）
2019/09/24	動的計画法による方策関数の学習 : Policy Iteration
2019/09/21	動的計画法による価値関数の学習 : Value Iteration
2019/09/18	Value ベースのベルマン方程式による価値の算出
2019/09/14	マルコフ決定過程
2019/09/13	強化学習の学習法
2019/09/12	強化学習（改訂）
2019/09/11	ベルマン方程式
2019/09/07	逐次的意思決定問題 (2)
2019/09/06	逐次的意思決定問題 (1)
2019/09/04	方策
2019/08/27	マルコフ決定過程と逐次的意思決定問題
2019/08/26	強化学習
2019/08/18	$\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q}^{-1}\boldsymbol{A}^{T}$ の正定値対称性の証明
2019/08/18	等号制約下の最適化
2019/08/11	陰関数定理
2019/08/10	多変数正規分布
2019/08/09	2クラスハードマージンSVM
2019/08/01	ドロップアウト
2019/07/31	バッチ正規化（コード）
2019/07/31	バッチ正規化
2019/07/27	ヤコビ行列
2019/07/26	誤差逆伝播法（II）
2019/07/22	誤差逆伝播法 (I)（改訂）
2019/07/17	情報量とエントロピー（改訂）
2019/07/13	凸関数（改訂）
2019/07/11	損失関数としてのクロスエントロピー
2019/07/08	情報量とエントロピー
2019/07/06	スカラー値のベクトルでの微分
2019/07/04	線形回帰の閉じた解
2019/07/03	重複組み合わせ
2019/06/27	熱力学の基本的要請
2019/06/25	パーセプトロン
2019/06/23	ルジャンドル変換
2019/06/04	凸関数
2019/05/22	ヤコビアン

作業履歴

日付け	作業内容・感想
2017/08/31	初めてホームページ作成挑戦してみたが、比較的簡単に表示させるだけならばできることが分かり、少しうれしくなった。これからいろいろと手を加えていければいいのだが、どこまで続けられるか自信がない。いまはいろいろできることが面白く感じているので、しばらくは続きそうである。いろいろテクニックを学習していきたいと思う。
2017/09/01	今日は数式と図を表示する方法を調べていた。いままでどのようにして表示しているのか不思議であったがやっと理解できた。これでLatexの文章を表示可能となった。手間はかかるがこれで少しホームページらしくなってきた。また、GitHabへアップロードする方法も分かったので有意義な一日であった。
2017/09/02	以前、WinShellで作ったLatexの文章をTexWorksで読み込んだら、日本語で文字化けが発生し困ってしまった。UTF8へ変換すれば何とか解決できたので、新しい文章を追加することができた。古い資源を活用するのは大変である。できるだけバージョンアップしておきたい。
2017/09/03	いままでTexLive2013を使っていたのたが、TexLive2017が使えるらしいのでこの機会に新しくした。今のところ以前と同様に問題なく動作している。Texもいままであまり使っていなかったので、何が新しくなったのかはよく分からない。きっと便利になったのだろう。練習で今日も一つ文書を追加した。少しずつ要領が分かってきた。しかし、何か変なことをするとおかしくなって収集がつかなくなる。ページ配置が急におかしくなったので変更しなければならなかった。
2017/09/04	Inkscapeというドローツールを使って波の絵を描く練習をした。パワーポイントで波線を描くのは大変であるが、こちらではパラメトリック曲線を使った正弦波が簡単に描けるので非常に便利である。伝搬する電磁波の図がうまく書けるかどうかいろいろと試してみた。なんとなくそれらしい図が描けたので、これから活用していきたい。
2017/09/05	LC回路からの電磁波の放射の様子を図示することに挑戦した。3次元的な波の図を描くのは大変であった。Inscapeは機能が豊富なので、覚えることが多くてすぐに忘れてしまいそうである。描きたいことを描けるようになるまでかなり練習が必要だ。
2017/09/06	本日は、光学におけるアイコナール方程式について記述した（まだ途中である）。アイコナール方程式というものが何を言っているのかよくわからなかったが、少し明確になってきた気がする。どのようなときに、幾何光学として扱うことができるのかを感じ取ることが重要である。徐々に、Lyx, Inkscape の使用法に慣れてきた。もう少し訓練すれば使いこなせるようになりそうだ。
2017/09/07	幾何光学の続きの部分を作成しこの節は一通り完成した。Texの文章ができても、それをHTML化するのに非常に手間がかかる。自動変換プログラムもあるようだが、インストールが大変そうなのでまだ試していない。本格的に始めるには変換プログラムがないと毎回大変である。ホームページ作成を開始して1週間がたった。少しずつそれらしくなってきている。内容がないのでこれを充実させていくことが必要だ。いろいろソフトの使い方を覚えなければならないので時間がかかってします。ランキングはランク外で、誰も見ていないようだ。
2017/09/08	光の強度に関する節を追加した。手順が分かってきたので今までのように時間がかからなくなった。自動化できればありがたいところである。修正が多いので、バージョン管理がこれから問題になりそうだ。GitHubの出番かもしれない。まだしばらく、いろいろテストしてみることが必要である。
2017/09/09	今日はPCのメンテナンスが続いていてC,Dドライブが100%の状態である。このため作業が捗らなくて子なっている。角アイコナールの部分まで進むことができた。これからいよいよレンズの公式の導出である。
2017/09/10	昨日からずっとメンテナンスが続いている。いったい何をしているのだろうか？そのため作業に時間がかかる。今日は細い光線束の途中までとなった。レンズの公式までやっとたどり着いたところである。これから難しくなりそうだ。
2017/09/11	今日は細い光線束のPDFを完成させた。HTML化はまた明日である。このところPCの調子がおかしいので、作業が進まない。何かがおかしくなったようだ。毎日、文章を作成する方法を練習しているので、かなり慣れてきた。このままこの技術をマスターしておきたい。
2017/09/12	HTML版を作成することができた。弧の手順を何とか自動化したいものである。一定の規則の置き換えを行えばいいだけなのだが。Phytonを使って文章処理を行えば可能なのかもしれない。今日は広い光線束についてのまとまを作成したい。
2017/09/13	広い光線束による結像についてアップした。この解釈で正しいだろうか？説明がよくわからない点が多いので不安である。アイコナールだけでここまでいろいろなことがわかるとは驚きである。光学はこれまでほとんど勉強していなかったので、驚くことが多い。
2017/09/14	本日は、あまり進まなかった。幾何光学の限界の途中までだ。明日中に完成させることを目標としたい。このあとは波動光学的な扱いが中心となる。回折は難しそうである。台風が近づいているので、明日、図書館に本を返却しておく必要がる。
2017/09/15	予定通り、幾何光学の限界までまとめることができた。初めにくらべると随分と作業がスムーズに進むようになった。2週間続けているので慣れてきたようである。この調子でこの技術をマスターしてしまいたい。明日は、少しテーマを換えてサイクロトロン運動をまとめてみたい。
2017/09/16	一様な磁場中での荷電粒子の運動についてまとめてみた。つぎは磁場が一様でない場合にどうなるかを考察したい。いままでノートに書いていたことをHTML化していくことは面白いことである。1日1項目を目標に頑張っていきたい。
2017/09/17	一様でない磁場のなかでの荷電粒子の運動についてまとめを行った。磁場の空間変化によってサイクロトロン運動の中心が移動していく様子が説明できている。気になっていた点を明らかにできてスッキリした。これからも少しずつ解明していきたい。
2017/09/18	今日は回折の部分を追加した。キルヒホッフの積分公式に相当する式を導いているのであるが、通常とな異なるので、なかなかわかりにくい部分である。具体的な計算は次回以降となる。内容が少しずつ増えてきたので、そろそろホームページの体裁を整えるときかもしてない。
2017/09/19	回折部分の修正をおこなった。HTMLファイルを修正するのはかなり大変である。修正すべき箇所かがすぐにはわからないのは困った点である。Texの文章をそのままコピーしているのが問題なのだろうか？いい方法が見つかればいいのだが…。
2017/09/20	フレネル回折まで完成した。分かりにくかった部分もかなり整理できてスッキリした。光の伝搬の章もあとフラウンホーファー回折を残すのみとなった。ここはまだ解明していない部分があるので時間がかかりそうである。訪問カウンターを設置した。まだ一度も見られていないようである。誰も見ていないうちに内容を増やしていきたい。
2017/09/22	フラウンホーファー回折の例を追加した。これでこの章はひとまづ完了としたい。普通の教科書とは違い独特な記述がされているので理解するのが難しかった。このような考え方が大切なのかもしれない。次は4階の反対称単位テンソルについてまとめておきたい。先日、設置したカウンターが動作しているのか疑わしい。自分で訪問してもカウントされないのだろうか？
2017/09/23	4階の反対称テンソルの縮約に関する公式と1/rのラプラシアンに関する公式を追加した。毎日1項目づつを目標としているがどこまで続けられるかである。カウンターは正しく動作していることが確認できた。その結果、まだ誰も訪問していないことが判明した。まだ、体裁が整っていないので仕方がないであろう。つぎは、コーシーの主値とデルタ関数の関係をまとめておきたい。
2017/09/24	相互作用の伝播速度について追加した。これから第1章の内容を随時追加していきたい。また、この間に得られた公式についてもまとめていく予定である。1か月近くたって慣れてきたのではあるが、まだまだ大変である。このまま内容を充実させていくことが大切だ。訪問者が誰もいないのに、ランクが上がっているのは、自分がホームページの修正作業を行っているからのようだ。多くのホームページは、ほとんどだれも見ていないのだろう。
2017/09/25	世界間隔を追加した。絶対的未来の領域の事象が、どうしてt < 0 とならないのかよくわからない点がある。これは具体的なローレンツ変換の形がでてくれば解決するのであろう。現時点ではわかりにくい。段段落の区切りをpからdivへ変更した。このほうが見やすいかもしれない。
2017/09/26	固有時間を追加した。昨日から表示の形式の変更作業を行っている。ずいぶんと見やすくなったような気がする。だだ、自分以外誰も見ていないのが残念である。いろいろ改善したい点が多い。一日一点ずつ改善していこう。
2017/09/27	ローレンツ変化との関係で、2次元の回転に対する座標変換の公式を導出した。いつも忘れるのでメモとして残しておくことにした。簡単なことをすぐに忘れてしまうので困ってしまう。
2017/09/30	2日間時間がなくて、追加することができなかった。本日はローレンツ変換を追加した。毎日1項目と考えっていたが、1か月で途絶えてしまったのは残念である。時間のある時にぼつぼつ追加していていけば十分である。誰も見ていないので気にする必要はない。
2017/10/02	このところ更新が途絶えがちであるが、今日は等価速度運動する斜面上の物体についてのまとめのPDFを追加した。　動く斜面上の物体を考える場合に、物体と斜面の系に対してなぜエネルギー保存の法則が成り立つのか疑問に感じたのでまとめてみた。　垂直抗力が物体にする仕事と斜面にする仕事がちょうど打ち消しあって重力による仕事だけが残るため保存則が成り立っていることが確認できた。　これにより、斜面が静止している場合のは、物体のみでエネルギー保存則が成立したが、斜面が動く場合には物体のみではエネルギー保存則が成立しないことが判明した。これは斜面が動く場合、物体の運動方向と垂直抗力が直交しないことが原因である。　また、斜面からみた物体の相対運動に対して、エネルギー保存則が成り立つといわれる意味が明らかになった。慣性力による仕事を位置エネルギーのように解釈することによってエネルギーの原理をエネルギー保存則の形に読み替えているのがその理由であった。　動く斜面上の物体の運動は、こうしてみるとかなり難しい問題であった。HTML化はまた明日である。
2017/10/03	昨日の内容修正とHTML化を行った。かなり手間がかかる作業である。バージョン管理がややこしくて困ってしまう。どれが最新版なのかわからなくなる。しかし、これで疑問点がひとつ解決した。
2017/10/04	速度の変換を追加した。ここまでは何とかたどり着いたようである。次の4元ベクトル後半のテンソル部分が厄介である。ここが理解できるかどうかが課題である。何とか第1章は完了したい。
2017/10/05	本日は4元ベクトルの途中までである。この章は非常に難しいので時間がかかる。明日中にテンソルがまとまればいいのだが・・・
2017/10/06	4元テンソルの微積分のまえまでまとめることができた。ここまででもかなり難しかった。このあともっと難しい微積分に関する事項が残っている。まだまだ時間がかかりそうである。
2017/10/07	今日は2次元の積分要素までである。ここから非常に難しくなってきてなかなか進まない。いままでよくわからなかったところであるので、ここまで理解できただけでも喜ばなければならない。
2017/10/08	3次元体積要素の部分まで到達した。まだ、4次元とさらに難しいガウス、ストークスの定理に関する部分が残っている。このセクションは非常に長くなっている。簡潔に書かれているので、理解するのが大変である。
2017/10/09	やっと4元ベクトルのセクションが完成した。20ページにおよぶ今までで一番長いセクションとなった。最後の積分定理の証明は今回省略した。あまりにも長すぎるので分割したほうがよかったかもしれない。第1章のあと1セクションである。
2017/10/10	4元的な速度を追加した。この部分は非常に短いので簡単であった。これで第1章がやっと完了した。まだまだ先は長い。道はますます険しくなっていく。
2017/10/11	第2章へ進んでいる。今回は最小作用の原理を追加した。ここからまたまた難しくなりそうである。この章で特殊相対論が完結するが、最後まで行けるかどうか・・・
2017/10/12	エネルギーと運動量のPDFを追加した。HTML化は明日行いたい。各セクションが難しいのでなかなか前進しないのである。ゆっくり前進である。
2017/10/13	今日は昨日の文章のHTML化を行った。これでこの部分は完成である。つぎのセクションもなかなか厄介そうである。どこまで進めるだろうか？
2017/10/14	分布関数の変換を追加した。不変量を導くのが大変であった。これをもとに考えるのはそれほど難しくはない。基礎が大切である。
2017/10/15	粒子の崩壊まで完了した。これから関連した問題を解くことを予定している。いままで問題は解いてこなかったのであたらな試みである。これにまた時間がかかりそうである。
2017/10/16	今日は問題1のPDFの作成までとなる。この問題はなかなか難しかった。まだ5題も残っている。すべてを解くのは無理かもしれない。第2章を終えるまでまだ3セクションが残っている。まだまだ道は遠い。
2017/10/17	粒子の崩壊に関する6題をPDFにまとめた。計算がめんどな計算が続いたので時間がかかった。HTML化はまた明日行うことにしたい。どこまでおけるだろうか？
2017/10/18	HTML化まで行った。不変な断面積についてのPDFをまとめ中である。面倒な計算が続いており、大変である。1日1ページ進めればいいと思わなければならない。
2017/10/19	不変な断面積の部分を問題を含めて完了した。残りあと2セクションであるが、これがまた厄介そうである。まずは弾性散乱がどこまで理解できるかである。
2017/10/20	弾性衝突の途中までをPDF化した。明日の完成を目標にしている。毎日少しずつしか前進できない。難しいものである。
2017/10/21	弾性衝突のPDFを一通り完成させた。また、明日見直して問題なければHTML化を行いたい。不思議なことにカウンターが1になっている。誰かが見たのであろうか？不思議なものである。
2017/10/22	弾性衝突のHTML化を完了した。次は問題に挑戦である。これもまたややこしいので時間がかかりそうだ。特殊相対論を終えるまであと少しであるので何とか頑張りたい。
2017/10/23	弾性衝突の問題を完了した。これでこの章も角運動量を残すのみとなった。あともう少しであるので頑張りたい。まだ、45ページしか進んでいないが、ここまで来るのも大変であった。一日1ページのペースである。この先どこまで行けるであろうか？
2017/10/24	今日は角運動量と4元ベクトルの問題のまとめを追加した。角運動量もこのように考えるとすっと頭に入ってくるものであると感心した。あとは角運動量の問題と4元的な速度の問題を残すのみである。あと一歩なので頑張りたい。
2017/10/25	角運動量と4元的な速度に関する問題を完了した。これで第2章まで完了し、特殊相対論に関する部分を終えたことになる。4元的な速度に関する問題は、意味が分かりにくいので苦労した点である。これでいよいよ電磁場の部分へ進むことができる。これからまた困難な道が続きそうである。2か月前には何もなかったことから思うとかなり進歩している。しかし、まだまだ、これからである。
2017/10/27	いよいよ電磁場へ突入である。本日は、相対性理論における素粒子の概念についてまとめた。ここからまた困難な道のりの始まりである。この章を終えることができるであろうか？
2017/10/28	場の4元ポテンシャルを追加した。また、これから必要となるベクトル解析の公式の証明も追加した。また、§5の一部も修正した。次のセクションからまた時間がかかりそうである。
2017/10/29	場のなかの粒子の運動方程式を追加した。通常の電磁気学の本とは違いスカラー・ポテンシャル、ベクトル・ポテンシャルから電場と磁場を定義しているところがおもしろい。こういうやり方もあるのだと感心した。また、ベクトル解析の公式も追加した。
2017/10/30	本日は、問題を追加した。いろいろな表現方法が可能であることわかる。自分でこのようなことが思いつくかである。そのときでないとわからない。
2017/10/31	不変な電磁場まで完了した。これからまた問題が続くので時間がかかりそうである。電磁テンソルまで何としても進めたいものである。
2017/11/01	不変な磁場まで完了した。次からが大変である。特に問題3はかなり難解であり時間がかかりそうだ。できるとことまで進んでいきたい。2か月経過して内容も少しずつ増えてきた。ここまで続けられるとは思っていなかった。第3章までは何としても終わらせたいところである。
2017/11/02	不変な電場および磁場の本文は終了したが、まだ問題が3題残っている。問3がプラズマの問題とも関係していてとても難しい。フルネ・セレの公式も復習しておかなければならない。意味を理解するのが大変である。時間がかかりそうだ。
2017/11/03	本日は問題1のPDF作成までである。ここはまとめるのに時間がかかるので、あまり進めない。明日は問題2をまとめたい。毎日1項目を目標にしているが、徐々にきつくなってきている。どこまでもつかである。
2017/11/04	問題3までPDFにまとめた。これだけでも大変であった。HTML化は明日行うことにする。いろいろな知識がないと答えを見ても理解できないものである。何もないところから考えるのは大変だ。
2017/11/05	HTML化を完了した。これでやっとこのセクションが終わった。次は、電磁テンソルである。ただ、その前にp62の脚注で第2項は負になると書かれているのが理解できない。なぜ、負になるのであろうか？第７刷で修正された箇所のようだが、理解不能である。また、§17に間違いがあったので修正した。
2017/11/06	電磁場テンソルまで完了した。4次元形式の運動方程式から考えると自然な形で電磁テンソルが導入できるのには驚いた。いままで突然出現していたものが納得のいく形で説明できている。面白いものである。次のローレンツ変換も後半がややこしそうである。
2017/11/07	場の不変量の問題まで完了し、第3章が終了した。ここまでかなり厳しい道のりであった。ここまでこれたのが不思議なくらいである。いよいよこれからが本番の場の方程式である。ますます険しい道のりになりそうである。第4章を乗り越えられるであろうか・・・。時間はかかりそうであるが、ゆっくりと進めばいい。
2017/11/08	今日はマクスウェル方程式の第1の組までである。電磁場テンソルとの関係がわかって面白いところである。この章では、電磁場のエネルギー・運動量テンソルが難関である。まずは、そこまで進んでいきたい。
2017/11/09	作用の形はかくあるべきとの議論を進めて作用の形を絞り込んで聞く議論はなかなかできるものではない。さすがに難しい。しかし、この考えにしたがえば、きれいに場のラグランジアンが導出できるのでおどろきである。また、4元ベクトルでのミスを修正した。
2017/11/10	本日は、4元電流ベクトルまでである。はじめは何とも思わなかったが、電荷密度の定義で少し疑問を感じてしまった。もう一度考えた方がいいかもしれない。
2017/11/11	連続の方程式まで完了した。4次元形式が分かるようでわかりにくい。4元ベクトルで積分定理を証明していないことが原因かもしれない。
2017/11/12	以前から気になっていたヘルムホルツの定理の証明を追加した。かなり込み入っていてわかりやすくはないが、これが証明できたことになる。また、2次元回転について補足をおこなった。今日はここまでである。4元電流ベクトルについても疑問が生じてきたので明日はその点について考えたい。しばらく場の古典論は前進できなくなりそうだ。
2017/11/13	4元電流ベクトルのローレンツ変換に対する共変性を調べた部分を追加した。変数変換のかなり長い計算になってしまったが、共変性を直接確認することができて少し納得した。ローレンツ変換に関して、トーマスの歳差を調べたいところであるが、先に進めなくなるので次回としたい。
2017/11/15	ガウスの発散定理を4次元で示そうと考えているのだが、まだ上手くいかない。体積の方向をどのように定義しているのかが理解できていない。そこで、2次元から証明を見直している。2次元いおいても法線方向の決め方が面倒である。まだ途中であるがPDFを載せておく。
2017/11/17	2次元での証明を修正することしかできなかった。この考え方で3次元まで拡張できそうであるが、4次元になると直感的にわからなくなってしまい、なかなか進まない。
2017/11/18	3次元での証明に取り掛かっているが、準備が大変である。曲面の図を描くのは非常に難しい。4次元までたどり着けるであろうか？
2017/11/19	本日は、3次元の証明までである。ここまででもかなり長くなってしまつた。外向き法線ベクトルというのが厄介な点である。3次元までは理解できるが、4次元になるとどちらが外向きなのかわからなくなってしまう。
2017/11/20	4次元の証明まで完了した。外向き法線ベクトルというのがわかりにくくなる原因であった。それにしても長くなってしまった。HTML化はまた明日である。
2017/11/21	やっとガウスの発散定理を終了した。非常に長くなってしまった。方向の指定が難しかった。統一的に扱うには微分形式が必要なのだろう。
2017/11/22	エネルギー・運動量テンソルの一般論まで完了した。久しぶりにランダウにもどると論理の美しさに感動する。自然にエネルギー・運動量テンソルが定義されてしまった感じである。説明も簡潔なので、自分では書けない文書である。つぎは、いよいよ電磁場のエネルギー・運動量テンソルである。電磁場だけならばなんとかなりそうであるが、電荷があると難しそうである。
2017/11/23	電磁場のエネルギー・運動量テンソルまでまとめた。電荷が存在する場合はまだ時間がかかりそうである。明日以降にまとめておきたい。マクスウェルの応力テンソルがこれまた自然な方法で導き出されたのは驚きである。大変勉強になる。
2017/11/24	電磁場のエネルギー・運動量テンソルまで完了した。粒子に対するエネルギー・運動量テンソルがラグランジアン密度から上手く導き出せないのが残念であった。また、別の方法があるのかもしれない。今回の内容はかなりグタグタしていてわかりにくい感じである。よくこんなことを考え付くものであると感心する。第4章終了まであと2つであるが、これがまた厄介かもしれない。なんとか100ページまでたどり着きたい。
2017/11/25	今日はヴィリアル定理までとする。次が大変そうだ。
2017/11/27	エネルギー・運動量テンソルにおける応力の方向についての考察を追加した。応力テンソルの正の方向が弾性力学における正の方向と逆になっていることがわかった。これにより電磁場のエネルギー・運動量テンソルにおけるマクスウェルの応力テンソルの符号が電磁気学での符号と逆になっている理由も明らかになった。明日はこの部分を修正したい。いままでスッキリしなかった符号問題が少しスッキリしたようだ。
2017/11/28	電磁場のエネルギー・運動量テンソルを修正した。これで空間成分の応力の意味が分かるようになった。やっとつぎへ進む準備ができた。
2017/12/13	応力について調べていたら時間がかかってしまった。久しぶりの更新となった。エネルギー・運動量テンソルにおける空間部分の符号が通常と逆なのが気になって仕方がなかった。相対論では逆向きに定義しているようである。いまはそのように理解しておきたい。
2017/12/14	やっと100ページを突破した。ここまでかなりの時間を費やしてしまった。時間がたっているので以前の内容を忘れかけている。復習しながら進むしかない。これからしばらく静電場と静磁場の問題である。途中いろいろと困難な問題が出てきそうである。どこまで頑張れるかである。ここまで来たら第6章まで終了して第7章につなげたいものである。
2017/12/17	一様な運動をしている電荷の場の本文まで完了した。明日は問題を完了したいところである。次のクーロン場のなかの運動は力学の問題となるので、しばらく力学をやり直さなければならない。
2017/12/18	つぎへ進む前に、力学へ一度戻って考えることにした。ハミルトン・ヤコビ方程式について復習しておきたい。
2017/12/19	力学の復習をおこなっている。忘れていたことを思いだしつつある。見直してみるのもいいものである。ハミルトン・ヤコビを目指して進みたい。
2017/12/21	力学の第1章を完了した。第2章まで終えたら、正準変換へ戻りたい。まだまだ時間がかかりそうである。
2017/12/22	今日はエネルギー保存則までとなる。ラグランジアンが時間に陽に依存しないことがうまく使われている。
2017/12/23	運動量保存則まで完了した。角運動量まで早く完了したいとところである。いろいろと復習になることが多い。この考え方を忘れていたようだ。
2017/12/24	第2章の保存則まで完了した。第3章までを何とか完了して正準方程式へ進みたいところである。ケプラー問題が厄介なところである。ホームページ作成を始めて約4か月になる。この1か月ほどは体調がすぐれない日が多くてなかなか進めなかった。毎日できる範囲でゆっくりと進んで聞ければそれでOKと考えたい。いつの日にか完結する日が来るのであろうか？
2017/12/25	今日は１次元運動の本文までである。明日は問題まで完了したい。演習理論物理学を図書館で借りてきた。これが易しい問題集かどうかは人による。要約は非常にコンパクトにまとめられている。
2017/12/26	問題まで完了することができた。第3章まで完結させて、正準方程式へ進みたいところである。ゆっくりしか前進できない。
2017/12/27	ポテンシャル・エネルギーの決定まで完了した。年内でどこまでできるかでsるが、中心力あたりまで行ければいいと考えている。約４か月が経過して、内容は少しづつ充実している。これをどこまで続けられるかである。孤独な散歩は続いていく。
2017/12/28	今日は換算質量までとなった。年内に中心力の本文分まで完了したいが、なかなか進まないのでいつになるかわからない。実際の軌道を計算するとなると時間がかかりそうである。
2017/12/29	中心力の場における運動の本文まで完了した。年内の目標はこれで完了としたい。軌跡を実際に計算するのに時間がかかってしまったが、確かに軌跡が閉じないことが確認できて面白かった。昔はこのような数値計算は大変であったが、いまは簡単にできてしまう。昔これができていれば、もっとよく理解できていたかもしれない。
2018/01/01	2018年の初日は問題1までである。楕円積分で苦労してしまった。第3種楕円積分の標準形へ変換したかったのであるが、できなかった。数値計算で軌跡は求められるのでこれで納得することにした。一般に、楕円積分の標準形への変換はかなり面倒なようだ。これもやってみなければわからない点である。今年も少しずつ進んでいくことにしたい。
2018/01/02	本日は問題2までである。数値計算とグラフ作成に時間がかかってなかな進まない。数値計算すれば運動をイメージしやすくなる。
2018/01/03	問題3までまとめることができ、この節のHTML化まで完了した。一つ一つの問題が重いのでなかなか進まない。今年中には場の古典論の重力場の前まで行きたいのであるが、この調子ではどうなるかわからない感じである。楕円積分についても奥が深いので追及すればきりがない感じだ。ここは、とりあえずつぎのケプラー問題に進むことにする。
2018/01/04	ケプラー問題の途中までしかできなかった。考えると細かな点が気になってしまう。続きはまた明日である。
2018/01/05	やっとケプラー問題の本文が完了した。省略されている部分を追加していたらずいぶんと長くなってしまった。まだ、あと問題が3題も残っている。この章を終えるのはしばらく先になりそうだ。ゆっくりと行くしかない。まだまだ道は長いのだから。あわてる必要がないことだけがアドバンテージである。
2018/01/06	問題2の途中までとなった。この問題は、逆3乗則の引力に対する軌道を求める問題であり、場合分けが多くてまとめるのに手間がかかる。
2018/01/07	まだ問題2で時間がかかっている。グラフを作成するのが大変である。なかなか手強い問題だ。
2018/01/08	ケプラー問題の本文を修正した。双曲線運動と放物運動の違いがはっきりとしなかったが、その違いが無限遠での速度であることが分かったので追加した。双曲線の場合、漸近線があるために無限遠での速度は有限となるが、放物線では漸近線がないために無限遠では速度がゼロとなることが判明した。また、ラプラス・ルンゲ・レンツベクトルの方向にあいまいな点があったので、その点を明確にした。このようなことを行っていたので、先に進むことができなかった。
2018/01/09	やっと問題が終了した。非常に長くなってしまった。ポテンシャルは距離の2乗に比例する場合も追加しておいた。これでケプラー問題は一段落としたい。
2018/01/10	正準変換の問題に戻ってきた。ハミルトン・ヤコビまではまだまだ遠い道のりであるが、少しずつ前進していくしかない。
2018/01/11	今日は短くラウス関数までとなった。PCが起動しなくなり、時間がかかってしまった。1年に1度くらいおかしくなるようだ。バックアップは必須である。
2018/01/12	今日も短いラウス関数の問題追加したのみである。これからポアソン括弧に取り掛かる。ここでまた時間がかかりそうである。
2018/01/13	ポアッソンの括弧式の問題3まで進んだ。問題4がまた厄介そうである。量子力学の交換関係との対応していて面白いところである。まだまだ道は長い。
2018/01/14	座標の関数としての作用まで完了した。次の節がまたまた厄介そうである。これを乗り越えればいよいよ正準変換である。一歩ずつ前進していこう。
2018/01/15	モーペルテュイの原理まで完了した。つぎは正準変換である。だんだんと近づいてきた感じである。ここを上手くまとめられるかどうかである。
2018/01/16	正準変換の途中までとなった。時間で変分することの意味が分からなくなり止まってしまった。奥が深くて理解しがたいことが多い。
2018/01/17	正準変換まで完了した。いろいろ解釈の難しいことがあり混乱してしまった。座標の関数としての作用はもう一度見直す必要がありそうだ。
2018/01/18	今日はリウヴィルの定理で必要となるヤコビアンについてのまとめを行った。いつもわからなくなるのではっきりさせることができた。リウヴィルの定理が終わればいよいよハミルトン-ヤコービ方程式である。もう少しでたどり着きそうである。
2018/01/19	リウヴィルの定理まで完了した。次はいよいよハミルトン・ヤコビ方程式である。ここを理解して場の古典論にもどりたい。
2018/01/20	ハミルトン＝ヤコービの方程式の概略までは完了した。いままでの内容から何を言っているのかは理解できるが、具体例を計算してみないとわかった気がしない。次の変数分離で具体的なことがある程度示されるようだ。
2018/01/21	これから必要となる放物線座標と楕円座標についてまとめた。いままで整理できていなかったことが少し整理できてスッキリした。
2018/01/22	変数分離の途中でしかできなかった。完全解を求めた後、具体的にどうするのかが問題である。また明日考えたい。
2018/01/23	変数分離の本文のまとまを完了した。HTML化は明日以降である。手順は分かったけれどももう少し具体例を考えないとその意味がよくわからない感じである。
2018/01/27	変数分離の問題を解いていたら不明な点が出てきたのでいろいろと調べていた。ベクトルの1次独立と行列式の関係をまとめておいた。よい復習になった。
2018/01/28	行列式を書くのに苦労してしまった。列を表わす文字を行列の外に書くのが面倒である。何かいい方法はないだろうか？ベクトルの1次独立となる条件がまとまったので、これを適用して曲線座標をまとめておきたい。いろいろ寄り道ばかりでなかなか目的地にたどり着かない旅である。
2018/01/29	曲線座標をまとまるのに時間がかかっている。式変形ばかりで面倒な部分である。作図にも時間がかかる。曲線座標の概念は重要であるので、復習しておくにはいい機会である。あとは曲線座標での角運動量の表示を求めて終わりとしたい。
2018/01/30	かなり長くなってしまったが、曲線座標についてまとめが完了した。これで問題1を解く準備ができた。これから変数分離の問題1に挑戦である。
2018/01/31	変数分離の本文中に負号ミスが見つかったので修正を行った。問題を解いていて気が付いた。実際の問題を解かないとわからないものである。問題をまとめるには時間がかかりそうだ
2018/02/01	やっと変数分離の問題を完了することができた。曲線座標などの知識が必要であったため時間がかかってしまった。とても面倒な問題であった。もう一度ケプラー問題へハミルトン＝ヤコービの方程式を適用した例題をやっておきたいものである。
2018/02/05	変数分離の問題を追加するのに時間がかかってしまった。ケプラー問題をハミルトン＝ヤコービの方程式の形で解くのは面倒であることがわかった。
2018/02/11	ハミルトン＝ヤコービの方程式について理解が深まったので、久しぶりに場の古典論へ戻っている。相対論的力学によってクーロン場中の運動を求めるのはかなり面倒である。運動の場合分けが複雑になる。まだ、途中の段階までしかできていない。難しい内容が続くので毎日追加するのが難しくなっている。
2018/02/13	クーロン場のなかの運動の本文を追加している。軌道の形状まではまとめることができた。これから落ち込み時間を求めておきたい。この節は内容が豊富で時間がかかってしまう。
2018/02/14	やっとクーロン場のなかの運動のまとめが完了した。非常に長くなってしまった。ハミルトン＝ヤコービの方程式やケプラー問題と対応させるのに苦労した。まだ、この節の問題が残っている。なかなか前進できないのである。
2018/02/22	問題を解くのに時間がかかっている。散乱の問題は難しい。まだあと1問残っている。また、力学へ戻って散乱を勉強するのがいいかもしれない。今月は間なりやる気がしないときが多くなかなか進まないのが現状である。
2018/02/26	また、力学に戻っている。第4章の粒子の衝突を突破しておきたいと考えている。相対論での衝突の古典力学バージョンであるが、だいぶ忘れてしまっているので、ちょうどいい復習になる。問題も多いのでかなり時間がかかりそうである。ラザフォード散乱までを一つの目標としたい。
2018/03/01	粒子の崩壊の問題3に時間がかかってしまった。相対論的に以前やった内容であるが、やはり面倒で難しかった。今日はPDF化までとなった。明日はHTML化を行いたい。
2018/03/02	<久しぶりにHTML化を行った。しばらく時間がたつとすぐに忘れてしまうので困ったものである。これでやっと粒子の崩壊が完了した。つぎは弾性衝突である。また時間がかかりそうである。一歩一歩をつないでいくしかないようだ。/td>
2018/03/03	弾性衝突の本文まで完了した。久しぶりに1日で完了することができた。あとは問題を残すのみである。明日中には仕上げたい。そうすれば、いよいよ粒子の散乱である。
2018/03/04	問題は比較的簡単な1問だけであったので、完了することができた。次の粒子の散乱が問題数も多くて大変そうである。頑張れるだろうか？
2018/03/05	粒子の散乱の本文を完了した。これから問題にとりかかる。7問もあるので相当な時間がかかりそうである。ここを何とか乗り越えたい。
2018/03/06	本文の内容を十分に理解できていないことが問題に取り組んで判明した。慣性中心系と実験室系との関係が混乱していた。そのため本文を大幅に修正した。教科書では数行文章で述べられているのみなので、理解が及んでいなかった。やはりランダウの教科書は難しいと感じた。これでやっと問題の意味が理解できそうである。
2018/03/07	粒子の散乱の問題に取り組んでおり、問題6までは完了した。問題7がかなり手強そうなので、時間がかかりそうである。今日はできたところまでをPDF化しておく。
2018/03/08	問題7まで一通り完了した。問題7は難しくて途中で何をしているのかが分かりにくい。このような計算はとても一人ではできそうにない。本格的な問題である。あとは図を補って完成させたい。HTML化は明日以降となりそうだ。あまりにも長いので大変である。
2018/03/09	やっと粒子の散乱の問題がまとめ終わった。問題数が多くて非常に長くなってしまった。いままで簡単に散乱を考えていたのは慣性中心系での表式を求めていただけであったことがよく分かった。実際の実験室系での表式を求めるのは大変であることを初めて認識した。奥が深くて、なかなか前進できない。これからラザフォード散乱であるが、これを実験室系で表現するのはまたしても大変そうである。
2018/03/10	ラザフォード散乱の本文まで完了した。HTML化は明日行いたい。次の問題2がまた難しそうである。あと微小角での散乱まであと少しであるので、頑張りたい。そこまで行ければ、また場の古典論の問題に挑戦である。道はまだまだ果てしがない。
2018/03/11	本日はHTML化を行った。これから問題に取り組みたい。問題2が厄介そうなのである。また、時間がかかりそうである。
2018/03/12	問題2の積分でミスをしてなかなかミスを見つけられず時間がかかってしまった。PDF化までは完了したので、明日HTML化を行って、最後の微小角での散乱に進みたい。
2018/03/13	HTML化を完了した。これでいよいよ最後のセクションである。ここを終えて場の古典論へ戻りたい。ずいぶんと遠回りしている。
2018/03/14	微小角度での散乱を終えたので、第4章粒子の衝突を完了した。散乱についてあまり深く考えたことがなかったのであるが、今回いろいろと勉強できた。まだまだ、奥は深そうであるが、今回はここまでとしたい。これで場の古典論の問題に対応できそうである。場の古典論をマスターするための必要な道筋であったと考えたい。
2018/03/15	やっとクーロン場のなかの運動を完了することができた。この部分だけで3か月近くかかってしまった。寄り道しすぎたのかもしれないが、力学を復習できたのでよかったとしよう。
2018/03/16	双極モーメントのPDFだけを作成した。まだ図がない状態である。双極モーメントを求めるのに多変数関数のテーラー展開が必要であった。完全に忘れていたことなので、復習するのが大変であった。多変数関数のテーラ展開については時間があればまとめておきたいところである。
2018/03/17	双極モーメントを完了した。次は、いよいよ問題の多重極モーメントである。ここは公式が多くて難しいところである。ルジャンドル関数の加法定理を説明するとなるとっても面倒になる。とりあえずは前半部分をまとめたい。時間がかかりそうである。
2018/03/18	多重極モーメントで4重極ポテンシャルを4重極モーメントで表現するところまで進んだ。ここ先テンソルの一般的な性質が必要になるので、またしばらくテンソルの復習を行う必要が出てきた。1ページ進むのに非常に苦労している。この機会に直交座標系でのテンソルをまとめておきたい。
2018/03/19	直交軸の変換とベクトルに関するまとめを行っている。ベクトル積が直角座標の変換にともなってベクトルとして変換されることを示すのに手間取っている。コンパクトに説明するのは難しい。いい方法はないだろうか？
2018/03/20	直交変換とベクトルに関する事項のまとめを行ったつぎに、これをもとにテンソルについてまとめを行いたい。ここで、テンソルの性質を明らかにしておきたい。
2018/03/21	今日はテンソルの途中までである。まだ、しばらく時間がかかりそうである。ここからが多重極展開と関連してくる部分となる。今週中には完了したい。
2018/03/22	テンソルの本文のまとめが終わった。あとは図を作成して、HTML化することが必要である。今日はここまでとする。長いのでHTML化には時間がかかりそうである。これでテンソル2次曲面についての理解が深まった。
2018/03/23	テンソルのまとめを終了した。20ページを超えるとさすがに時間がかかってします。これでやっと場の古典論のテンソルに関する記述が理解できる。ひとつひとつ確認していたらほとんど前に進まないのである。周辺を巻き込みながら進むしかないであろう。
2018/03/24	場の古典論にもどり多重極モーメントをまとめている。ルジャンドル関数の加法定理を認めたとしても、最後のテンソルとの関係を計算するのは非常に面倒な作業となることがわかった。サラッと書いてあるので簡単なのかと思っていたがとんでもないことだった。また、時間がかかりそうである。今月中にはここを終わりたいところである。
2018/03/25	多重極モーメントの本文を完了して。面倒と思われた計算も規則的におこなえば問題なくできる。ただ、教科書の符号と一致しない点があるのが気になる。あとは問題を残すのみである。
2018/03/26	外場になかの電荷の系まで完了することができた。このところミスプリントと思われる箇所が多くなってきた。確認するのが難しい。次から磁場へ進んでいく。また、ややこしそうである。
2018/03/27	不変な磁場の本文とベクトル解析の公式の追加・修正を行った。
2018/03/28	不変な磁場を完了した。ビオ・サヴァールの法則の法則がこのように導かれるのは驚いた。短いセクションではあるが内容のある部分であった。
2018/03/29	磁気モーメントの導出を行った。このような方法で導出できるとは思わなかった。いままではどのようにしていたのだろうかと思う。
2018/03/30	磁気モーメントを完了した。つぎはラーマーの定理である。ここは回転座標系を考えるところが難しい。回転座標系について復習しなければならない。また、力学へ戻るかもしれない。
2018/03/31	ラーマーの定理の途中まで進んだが、ラーマー定理の意味することがまだピンとこないので、まだ考えてみなければならない。それは明日以降としたい。今月は毎日更新できたので目標達成となった。あと少しで、電磁波であるので頑張りたい。
2018/04/01	力学の角運動量に（注）を追加した。以前は気にならなかったが角速度との関係で見直すと疑問を感じたので修正を行った。
2018/04/02	ラーマーの定理で必要になるので、角速度へ戻ってた。このあと回転座標系をまとめたい。今日は角速度までである。
2018/04/03	非慣性基準系における運動の本文を完了した。コリオリの力や遠心力が自然と導き出されてしまい驚いた。この形式では非常に美しく話が展開される。
2018/04/09	kd-Tree を表示する Python プログラムを作っていたら時間がかかってしまった。久しぶりに Python を使おうと思ったらすっかり忘れていて思い出すのが大変であった。使わないとすぐダメになってしまう。今回はいい復習となった。また、ソース・コードを Tex 、HTML として表示する方法もやっとわかったので、使ってみた。まだまだ、いろいろな技の習得が必要である。
2018/04/23	Sloan Digital Sky Survey (SDSS) のデータベースにアクセスできることがわかり、PythonでSQLを実行するプログラムを作成していた。このため更新する時間がなかった。今日はPythonでの手順がまとまったので久しぶりに、その手順を追加した。銀河に関する観測データを自由に使うことができるのは素晴らしいことである。一般人には公開されていないと思っていたが、誰でも使えるようだ。一生ふれることはないと思っていた事柄に出くわしたのは大きな喜びである。
2018/04/29	kd-Treeに対するbinary-treeを書く方法がわかったので、以前の内容を改定した。きれいなbinary-treeが表示できている。これを書けるようにするだけで時間がかかってしまった。新しいことを始めるとなかなか進まないものである。次は、最近接点を求めるプログラムについてまとめておきたい。
2018/05/01	kd-Treeによる最近接点を求めるプログラムに対するまとめが完成した。再帰関数の動きを理解するのが難しかった。自分でこれを考えるのはとてもできそうにないと感じた。天文データにて適用するとどうなるのであろうか？興味のあるところである。
2018/05/03	kd-Treeによるクロスマッチングに関する記述を追加した。実際にデータ数が大きなときに有効であることが確認できた。これを使って実際のデータでのマッチングを行ってみたいものである。コーセラでの結果と比較して確認しておきたい。
2018/06/19	久しぶりに更新を行った。「行列プログラマ」というPythonで線形代数を学ぶ本を読んでいたら面白くて更新できなかった。行列に対する新たな見方を学ぶことができた。行列とベクトルの積を行列の列ベクトルの線形結合とみるというのは非常に有益である。この見方で線形代数を考えると分かりやすくなった気がする。まだ、最後まで読んでいないので、最後まで進みたいところである。
2019/02/09	ずいぶんと時間が空いてしまい、このページの作成方法も忘れかけている。今日は、jyupter notebook のPDF化の方法をまとめておいた。直接、日本語の説明を含めたnotebookをPDFにできればいいのだが、その方法はわからない。少々面倒ではあるが、HTMLファイルを作成して、それをPDF化することで比較的きれいにPDF化することだできた。これまで作成した内容をPDFにして保存しておきたい。
2019/02/11	PDF化はできたのであるが、ページの切れ目でグラフが分断されることがわかった。解決策はいまのところない。この点はいまは諦めるしかないようである。
2019/02/12	upyter notebookをPDFへ変換する方法の手順が定まったので、忘れないようにまとめを行った。この手順でnotebookの表示に近い形でPDFにすることができた。
2019/02/17	upyter notebookのPDFへ変換がうまくできたと思っていたが、PDF24では数式を含むhtmlファイルがうまく変換できていないことが判明した。そのため別のソフトをいろいろと探していた。一つ見つかったのだが無料版では制限があることがわかった。現時点でのベストの方法を改めてまとめておいた。
2019/02/20	気象衛星ひまわり8号の画像データをダウンロードして表示するプログラムのhtml化とPDF化を行った。まとめておきたかったことが整理できてよかった。
2019/02/22	GitHub Gistに登録したコードを表示できるかどうか試してみた。確かに簡単に埋め込むことができ、きれいに表示されている。Google Colabで動作するコードなので、Colab へのリンクも正しき機能している。この方法だと簡単にコードが表示できることがわかった
2019/02/26	paiza learningが無料だっつたのでホームページ作成方法について勉強した。Bootstrapを使ってレスポンシブルなホームページを作るのが一つの流れのようである。現在、この方法でホームページを改良中である。一部はスマートホンでの表示にも対応できるようになっている。これからすべてを対応できるようい変更していきたい。時間はかかりそうであるが、いい練習問題である。
2019/02/27	本日はランダウの「力学」部分の修正を行った。これで数式を除いてデバイスによらず表示できるようになった。数式の大きさを変化させることはできていない。また、フォントも変更したいのだが、まだできない
2019/02/28	Bootstrap4では、日本語フォントへの対応が不十分であり、それを補うために日本語用のcssを用いる必要があることが判明した。これを利用するときれいな日本語フォントで表示できるようになった。次は、場の古典論の部分を新しくしていきたい。修正は単調であるが手間がかかり大変である。
2019/03/01	場の古典論の修正に着手した。一部は、レスポンシブルに対応できるようになった。
2019/03/02	style設定部分を外部のcssファイルとして取り込もうとしたが、Bootstrapを使った場合、上手くいかないことが判明した。cssファイルの最後に記述した設定のみが適用されて、それ以前に記述した設定は無視されている。このあたるの点がまだよくわからないのである。とりあえずは、html中に直接書いておくしかないようだ。
2019/03/03	全体的にスタイルを少し修正していたら時間がかかった。すべてを一つ一つ修正するのは大変である。一挙に修正する方法はないのだろうか？外部のcssファイルがうまく機能しないのが問題である。
2019/03/04	物理数学までの部分のスタイル変更を行った。いままでごたごたしていた部分がスッキリとしてきた。残り部分の修正していきたい。
2019/03/05	大幅なデザイン変更を行った。シンプルなデザインで、いままでと全く異なるイメージとなった。しばらくこれで試してみたい。いいデザインを作るのは大変である。やってみた初めて分かった。
2019/03/12	ニューラルネットワークによる画像分類のプログラムがまとまったので Gist にアップした。コンピュータの項目に Gist プログラムを追加して、ここに整理することにした。また、Mathjax に対してもレスポンシブルな表示にする方法が判明したので、数式もレスポンシブルに表示できるようになった。徐々に修正していきたい。
2019/03/13	力学部分の数式をレスポンシブルな表示に変更した。分数式や根号を含むときには上手くいかない場合もある。改行位置もあまり見やすくない場合もある。それでも一応対応できているのでよしとしたい。Mathjaxのスクリプトの変更がポイントであった。
2019/03/14	場の古典論部分の数式をレスポンシブルな表示に変更した。ラーマーの定理のHTMLをつくっていなかったので作成した。このあたりで中断していたようだ。また、CNNの内容を少し追加した。
2019/04/03	久しぶりの更新となる。今回は、1次元ハイゼンベルグモデルの基底状態を計算するプログラムをアップした。スピン数 N=16 までの基底状態のエネルギーと波動関数を数値的に厳密に求めることができる。この基底状態は、制限ボルツマンマシンによる機械学習によっても求めることができるので、次回はそのプログラムを追加したい。機械学習の手法が物理にまで適用できているのは興味深いことである。
2019/04/08	久しぶりに統計力学として新しい内容を追加した。1次元反強磁性ハイゼンベルグモデルの厳密解を計算するPythonプログラムについてまとめておいた。Lxyの使い方やHTMLの書き方を忘れていたので、時間がかかってしまった。次は、制限ボルツマンマシンによる基底状態の計算方法についてまとめておきたい。
2019/04/09	昨日の内容に一部追加を行った。また制限ボルツマンマシンによる計算プログラムを追加した。機械学習の手法によって求めた基底状態のエネルギーと波動関数は、厳密解とほぼ一致することが確認できた。計算速度の向上ができれば有効な手法である。
2019/04/10	Google Colab 環境で CUDA が簡単に使用できることが分かったので、その方法と使用例をまとめておいた。NVIDIA の GPU がないと動かせないと思っていたけれども、Google Colab 上でなら環境構築なして使用できるのはありがたい。CUDA の使用法について勉強してて、モンテカルロ計算の高速化を実現したい。
2019/04/16	Google Colab の GPU である Tesla K80 についての情報をまとめた。GPU がどのように作られているのかがよく分かった。GPU に関する書籍に書かれている言葉の意味が理解できるようになったのは一歩前進である。GPU の特性を上手く利用したプログラミング手法を習得したい。
2019/04/18	CUDA について理解できた点から忘れないようにまとめ始めている。まずは、スレッドの制限事項について調べた。分かりにくい構造となっているので注意が必要である。
2019/05/05	CUDA での 2D Ising model のモンテカルロシミュレーションを行うプログラムを作成した。作成にかなり時間がかかってしまった。相転移の様子は再現できているが、低温での比熱が増大するというおかしな現象が現れている。この原因を調べていると時間がかかってしまったが、まだよくわからない。GitHub Gistのプログラムが見れなくなっている。原因不明である。
2019/05/06	GitHub Gist が表示できるようになった。原因はわからないがときどき表示できないようになるようだ。ここの保存しておくのは問題かもしれない。
2019/05/07	比熱が低温側で上昇する問題は、プログラムミス（割り算するステップ数のミス）であることがやっと判明した。これで低温の比熱、帯磁率を正しく評価できるようになった。計算ステップも 10000 程度で十分であるので、全体の計算も 10 分程度で終了する。4096×4096 スピンを含む系の計算が 10 分で終了するとは、GPU 効果は絶大である。少し前のスパコンなみの計算が自宅の PC からできるとは驚きである。これをうまく活用していきたい。
2019/05/18	系のサイズを変えてシミュレーションが可能になったので、有限サイズ・スケーリング則が成立するかどうかを調べた。その結果、２次元イジングモデルでは、有限サイズ・スケーリング則が成り立つことが確認できた。このようなことが手軽にできるようになったのは驚くべきことである。今は、有限系での相関距離の表式を調べているのだが、これがわからなくて時間がかかっている。これを解決するのは難しそうだ。
2019/05/22	ヤコビアンの部分に熱力学でのヤコビアンの利用法を追記した。熱力学の変数変換は非常に複雑で分かりにくいが、ヤコビアンを使えば系統的に処理できることが理解できた。なかなか面白い方法である。
2019/06/02	凸関数についてまとめている。凸関数の性質について書かれている文献が少ないので、まとめておく必要があると感じた。エントロピーが上に凸な関数であることから、この関数の性質を理解しておくことが熱力学を理解する一つのポイントであると思う。簡単なようで、難しいのでまだ途中である。
2019/06/03	1変数の凸関数の性質についてまで完了した。次は多変数の場合である。実用的なのは多変数の場合であるのでどのように拡張すればいいのかよく理解することが大切だ。
2019/06/04	凸関数についてのまとまを完了した。多変数の場合は、深入りすると大変なことになりそうなので、1変数からの類推に止めた。また、機会があれば、通り組みたい。これで凸関数の理解が深まったので、エントロピーの凸性についても理解しやすくなった。次は、ルジャンドル変換についてまとまておきたい。これも分かりそうで分からない事項である。
2019/06/05	簡単なルジャンドル変換を確認するプログラムを作成した。ルジャンドル変換の値を切片とする直線群の包絡線として元の関数が再現できることを具体的に確認できた。実際に計算してみると実感できて面白い。何となく分かったつもりだったことが、しっかりと理解できた。
2019/06/06	ルジャンドル変換のまとめを書き始めた。ここは長くなりそうである。まずは１変数で特異性のない場合を考える。途中、途中で保存しておく。
2019/06/08	多変数の場合のルジャンドル変換を追加中である。ルジャンドル変換の定義に２通りの流儀があり符号が混乱してします。ここが難しくなる原因である。
2019/06/09	特異性のあるばあいのルジャンドル変換をまとめ中である。ここは演習問題が多いので手間がかかりそうだ。
2019/06/11	特異性のあるばあいのルジャンドル変換の方法につてまとめが完了した。例題によってその方法が明確となった。これで相転移がある場合の熱力学関数の振舞が理解しやすくなった。また、pdfを色枠で囲って定理などを見やすくする方法が分かった。凸関数についても修正しておいた。いろいろできるようになっているので面白い。
2019/06/14	ルジャンドル変換の一般性についてまとめているがかなり長くなってきたので困っている。例題で説明するのはなかなか大変である。
2019/06/16	一般の場合の多変数のルジャンドル変換を残すのみとなった。ここがまたややこしいので苦労しそうだ。ルジャンドル変換や凸関数がこれほど奥が深いとは思わなかった。
2019/06/21	ルジャンドル変換のPDFは一応完成した。見直してミスを修正する必要がある。最後は、抽象的で分かりにくい。具体例で考えるしかないようだ。かなり長くなったのでHTML化するのも大変である。
2019/06/23	ルジャンドル変換のHTML化まで完了した。かなり長くなったので、ミスも多く見直しが大変であった。まだまだ、多くのミスがありそうであるが、ここで一段落とする。
2019/06/24	機械学習で必要になるので、平面の方程式についてまとめた。高校数学の復習である。
2019/06/25	パーセプトロンについて学習したので、このまとめを行った。gif動画も表示できるようになったので、これからもいろいろと改良できそうである。
2019/06/27	熱力学の基本的要請についてのまとまが完了した。これをもとにエントロピーの凸関数性を考えたい。
2019/06/28	機械学習で必要となった重複組み合わせの公式について考えている。この公式を一般的に証明するいい方法はないか検討中である。漸化式から証明しようとしたがなかなか難しそうなので、写像による証明を考えている。続きはまた明日考える。
2019/07/03	重複組み合わせの写像による考え方のまとめを完了した。別のことをしていたので、時間が空いてしまった。
2019/07/04	線形回帰に対する正規方程式の解を導いた。行列の形にまとめるとスッキリとする。次は、ソフトマックス関数に関してまとめたい。
2019/07/06	機械学習での勾配ベクトルの計算で必要になった公式をまとまておいた。単なるグラジエントの計算であるが、機械学習の文脈の中で出てくると戸惑ってしまった。
2019/07/08	情報量とエントロピーの関係についてまとめた。これでクロスエントロピーを損失関数と考える理由が分かった。次は、この点を明確にしたい。
2019/07/09	損失関数とクロスエントロピの関係が分かってきた。いままでこの量をなぜクロスエントロピと呼ぶのかわからなかったがこれで明確になった。
2019/07/11	損失関数とクロスエントロピについてのまとめが完了した。クロスエントロピーを損失としたものが、最尤法からの表式と一致することが確かめられた。これで意味がよく分かった。
2019/07/13	凸慣習の定理4-(v)の証明を修正した。グラフを用いないスッキリとした証明となった。
2019/07/17	連続的確率変数に対するエントロピーの非負性について疑いが生じたので修正を行った。
2019/07/18	誤差逆伝播法についてまとめ始めている。まずは簡単な場合を具体的に計算した。
2019/07/20	簡単なネットワークでの誤差逆伝播法についてまとめ終わった。次に、実際のネットワークに適用できる形でまとめておきたい。
2019/07/22	一般的な場合との対応を考えるため簡単なネットワークでの誤差逆伝播法の表記を一部変更した。
2019/07/23	誤差逆伝播法を実際的な場合へ拡張する方法を目止めている。また時間が掛かりそうである。
2019/07/24	参考文献の表式に疑問が生じた。これを考えていると時間が掛かった。確認するすべがないのが残念である。
2019/07/25	参考文献の表式の疑問は解決できたので、スッキリした。アルゴリズムまで完了したのであと一歩である。
2019/07/26	やっと誤差逆伝播法のまとめが完了した。確率的勾配降下法との関係もよく分かるようになった。これで今ひとつわからなかった点が解明できた。
2019/07/27	機械学習での使用に適した形にヤコビ行列をまとめた。
2019/07/28	バッチ正規化についてまとめを行っている。かなりややこしいので理解するのに時間が掛かる。これを実装するのは難しそうだ。
2019/07/29	バッチ正規化層を実装するプログラムを追加した。正しく動作することも確認できた。
2019/08/01	ドロップアウトの働きについてまとめた。動作原理をしっかりと理解することができた。
2019/08/03	2クラスハードマージンSVMについて考えている。不等式制約に対するKKT相補条件の理解がポイントのようである。ここをしっかりと理解する必要がある。
2019/08/09	2クラスハードマージンSVMを完成させた。不等式制約に対するKKT相補条件については別途まとめることにする。
2019/08/10	混合ガウスモデルを考える際に必要となったので、多変数正規分布についてまとめた。すぐに忘れるので困ったものである。
2019/08/11	多変数の陰関数定理についてまとめた。多変数を扱うことが多いのでヤコビアンやヤコビ行列がこのところよく登場する。
2019/08/12	ラグランジュの未定乗数が陰関数定理と関連していることに今まで気が付かなかった。今回、その関係が明らかになってきた。深い意味があったのだ。
2019/08/13	例題2で$\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q}^{-1}\boldsymbol{A}^{T}$が正則である理由が不明である。また、考えたい。
2019/08/18	$\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q}^{-1}\boldsymbol{A}^{T}$が正則であることの証明に時間が掛かってしまった。これで良さそうなのだが、問題はないだろうか？これでやっと次に進めそうである。等号制約下での最適化がやっと完了した。
2019/08/26	Edxの課題に取り組んでいたら更新できなかった。せっかくEdxで強化学習について勉強したので、その内容を整理するためにまとめておきたい。まずは、強化学習の定義を行った。
2019/08/27	マルコフ過程とマルコフ決定過程の違いがハッキリした。強化学習とはマルコフ決定過程での学習を意味することが理解できた。
2019/09/01	マルコフ方策についてまとめ中である。方策決定について深い意味があることがよく分かった。いままで何となくやっていた感じであった。
2019/09/04	マルコフ方策についてまとめが完了した。複雑な手続きを経て考えていることがよく分かった。完全に理解するのは難しく、すぐ忘れそうである。
2019/09/06	リターンについてまとめ始めている。この部分も長くなりそうなので、分割しながら進めることにした。
2019/09/07	参考文献では結果のみであるので、例1の計算にかなり時間が掛かってしまった。もう少し丁寧に記述して欲しいものだ。
2019/09/11	ベルマン方程式の導出を行った。色々文献を調べると定義が曖昧であったり、記号が異なっていたりして混乱してしまった。そのため時間が掛かった。現時点で一番スッキリする方法でまとめることができた。間違っている可能性もあるので注意が必要である。
2019/09/12	強化学習の項目で強化学習の位置づけの図を追加した。この図で強化学習の位置づけが分かりやすくなったと思う。
2019/09/13	PolicyベースやValueベースという考え方についてまとめた。それぞれの考え方によって、ベルマン方程式も変わってくることが理解できた。
2019/09/14	簡単な迷路問題に対するマルコフ決定過程をPythonで実装するプログラムを試してみた。参考文献のコードはかなり込み入っていて理解するのが難しかった。このような簡単な問題でもこれほど複雑になるとは、今後大変である。
2019/09/17	ベルマン方程式を用いて価値関数を算出する過程を考えたが、参考文献のコードが理解できなくて時間が掛かった。参考文献のコードでは、価値関数に$\gamma$が1回多く掛けられているようなのだがこれは正しいのであろうか？質問してみたが回答があるかどうかわからない。
2019/09/18	昨日質問した点について、著者から返答があった。up_up_up_up_upからさらに遷移してhappy_endになることを設定しているとのことであった。これで疑問点が解決した。本の著者からすぐに返答があるとは驚いた。インターネットで繋がっていることを実感した。以前ならば、あり得ないことだ。
2019/09/19	Value Iteration による価値関数の算出プログラムをまとまた。参考文献では、入出力インターフェースが作成されており、実行がかなり複雑である。ここでは、入出力を簡単化して、全体の流れが分かるようにした。
2019/09/20	昨日の結果をアニメーションで表示できるように改良していたら時間が掛かってしまった。juypterやColabでアニメーション表示するのは一苦労である。できそうでできないので苦労した。
2019/09/21	Web上でもアニメーションが行えるように改良をおこなった。これで価値関数が変化していく様子を確認できるようになった。
2019/09/24	Policy iteration のコードを追加した。コードを理解するのが難しくなってきている。ここ書き方がいいのかどうかわからない。
2019/09/25	動的計画法についてまとめた。もう少し具体例をやらないと理解できた気がしない。
2019/09/26	ベルマン方程式の内容に追加を行った。バックアップ木によるベルマン方程式の解釈を追加した。
2019/09/27	動的計画法の手計算可能な具体例が見つかったのでまとめている途中である。プログラムを実行するだけでは今ひとつ理解できない点も実際に手で計算してみると実感がわいてくる。
2019/09/28	より簡単な例での方策反復法のコードを追加した。以前のコードと比べると流れがハッキリとわかる。以前のコードは複雑すぎて、流れが分かりにくかった。
2019/09/29	会社員のMDPを具体的に考えることで、方策反復法の意味が分かりやすくなった。何といっても手計算である程度計算できるのがいい。この手順を理解した上でプログラミングをすることが大切である。
2019/09/30	価値反復法による方策を最適化するコードをアップした。先の迷路問題にくらべて、簡単例なので内容が分かりやすい。
2019/10/01	価値反復法のまとめを行った。考え方が分かりやすくなった。簡単な例で考えることが大切である。
2019/10/04	強化学習におけるモンテカルロ法の意味を理解するのに時間が掛かった。サンプリングの具体的な方法がよく分からなかった。エージェントは環境を知らないので行動するのみであるという点と、行動したあとは環境から次状態と報酬が与えられるという点が理解できなくて苦労した。
2019/10/06	モンテカルロ法の例題プログラムを作るのに時間が掛かった。モンテカルロ法の結果とベルマン方程式の結果が一致しない点があり、プログラムには問題があるかもしれない。考えている例題がモンテカルロ法に適していない可能性もあるので判断しづらいところである。何かいい例題があればいいのだが、見つかっていない。
2019/10/08	TD 学習についてまとめている。この部分は足し算の計算がややこしい。適格度トレースの考え方がとっつきにくい。これをプログラムで表現するのが大変そうである。TD 学習を使えばモンテカルロ法よりも正しく価値関数を評価できるのであろうか？
2019/10/09	TD 学習を完了した。例題となるプログラムをこれから検討してみたい。できたら追加する予定である。
2019/10/10	行動価値関数に対するベルマン方程式（14）にミスプリントがあることが判明したので、修正を行った
2019/10/13	モデルフリーな制御についてまとめ始めている。この部分は長くなりそうなので、小分けしてまとめていくことにする。時間が掛かりそうである。
2019/10/14	SARSA, Q学習についてまとめた。いままで漠然としていた点が整理できたのでよかった。実際にコードを作成する必要がありそうだ。原理は分かっても実感が持てない。
2019/10/16	方策勾配定理の証明で少し時間が掛かった。一応、証明できたので定理の意味が理解できる湯になった。これをどのように使うのかが問題である。
2019/10/16	方策ベース手法についてまとめた。理論は理解できたがじっそできるかどうかが問題である。実装はしばらく置いて、とりあえず先に進むことにする。
2019/10/22	新規にPCを導入した。快適な操作性になった。この入れ替えによって、各種ソフトの設定が大変である。TeXLive2019へのバージョンアップに伴ってInkscapeでTeXが使えなくなり、環境設定に苦労した。gsのバージョンを下げることで対応できることが判明したのでまとめておいた。まだまだソフトの導入が大変である。
2019/10/26	すべてのソフトをインストールして環境を整えなければならないので時間がかかる。忘れたときのためにjupyter notebookの環境設定についてまとめておいた。
2019/10/28	CUDAをインストールしてTensorFlowで動作することを確認できた。これで新規PCを導入した意味が出てきた。ローカルのPCでCUDAを使えるようになった。CUDAのインストールはかなり面倒であったので、手順をまとめておくことが必要である。とりあえずローカルPCでGPU計算が可能となった。
2019/10/29	万一再インストールが必要になった時のために、CUDAとTensorFlowのインストール方法をまとめている。かなり複雑なので、もう一度できるかどうか不安である。
2019/10/30	CUDA、TensorFlowのインストール方法のまとめが完成した。これでローカルPCで簡単なGPU計算が可能となった。この閑居をどう使いこなすかが重要となる。
2019/10/31	CuPyのインストール方法を追加した。これでCuPyも使えるようになった。GPUのメモリーが11GBしかないので、あまり大規模な計算ができないのが残念である。工夫していくしかないだろう。
2019/11/04	1次元反強磁性ハイゼンベルグモデルの厳密解において N=16 まで計算可能と書いていたが、N=14 までしか計算できないことが判明したので修正を行った。また、ローカル PC においては dtype='float32' と単精度とすることで N=14 まで計算可能であることが判明した。基底状態のエネルギーの計算結果は一致している。
2019/11/07	CUDA 10.0 でのプログラムのコンパイル・リンク・実行方法についてまとめた。例題のサンプルを実行することでCUDAでどのような計算ができるのかがよく分かった。これを使いこなせるようになりたいものである。
2019/11/12	CUDA プログラムを作成中に結果がおかしいことが分かりその原因の解明に時間がかかった。単精度浮動小数点数の有効桁数についての理解が不足していたのが原因であった。単精度浮動小数点数においてどのように加算が行われるのかをある程度知っておく必要があるので、簡単にまとまを作成した。まだ、疑問点もあるので課題は残っている。
2019/11/15	残されていた疑問点が解決した。誤差の丸め方は、単純に切り捨てているのではなく、最近接偶数方向丸めという方法で処理されていることは判明した。このように決められていることは全く知らなかったので大変勉強になった。いままでまったく気にしていない点であった。
2019/11/16	やっと丸め誤差の考え方をまとめ終わった。考えを整理するのが大変であった。
2019/11/19	PytorchのcondaによるインストールでRemoveErrorが発生し、対応に時間がかかったので対処法をまとめた。何らかの事情でsetuptoolsに異常が生じたようである。解決できたので再インストールは免れた。
2019/11/27	cuda10.0でtensorflow2.0が動作することが分かったので、仮想環境にtensorflow2.0をインストールして動作確認を行った。GPU動作が確認できた。Keras, PyTorchのインストールと動作確認も行えた。その際、Basemapのインストール方法が分からなくなったのでまとめておいた。これで仮想環境でも今までと同じ動作が可能となった。残された問題はTensorbordでProjectionが動作しない点である。この解決法補はまだわかっていない。
2019/11/30	物体検出プログラムを実際に試すことができた。いままで実感がわかなかったが、動かしてみたどのようなものか何となくわかった気がする。Tensorflow 2.0でも動作するように修正もできたので、非常に勉強になった。このような大規模な計算ができるのもGPUを導入したおかげである。導入費用はかなりかかったが、GPUのありがたみが感じられた。
2019/12/01	HTMLまで完成することができた。メモとしてはノート見書いておくよりも役に立ちそうである。
2019/12/04	Tensorflow2.0 では、1.0 から大きく変わっていて、いろいろ修正する必要があることが分かった。セッションやプレイスホルダがなくなっているので、いままでのコードは動かなくなってしまった。これを機に新しいやり方を勉強しなければならない。
2019/12/05	線形回帰を TensorFlow で行う方法についてまとめた。1.x と 2.0 ではかなり違っているので、対応したコードを書くのにかなり苦労した。低レベル AIP を使ったコードは難しいものである。
2019/12/06	線形回帰の例を用いて Keras によるモデル化の方法をまとめた。Keras でモデル化する方法として主に 3 つの方法があることが分かった。どの方法を用いるか迷ってしまうところである。
2019/12/07	matplotlibでの日本語表示が気になっていたので、文字化けを修正する方法をまとめた。徐々に環境が整備されつつある。
2019/12/08	Python の不確かな点についても忘れないようにまとめ始めている。Keras を使うときにも必要となる。
2019/12/09	イテレータとジェネレータの関係が良くわかるようになった。少しずつ理解していくことが大切である。
2019/12/12	Tullus OS 上で jupyter Lab を使って衛星データを取得できるようになったので、その使い方をまとめた。Tullus OS からしかアクセスできないので、ローカル PC で処理を行うには取得したデータをファイルに保存して、それをダウンロードして処理を行う必要がある。使用期間が限られているので、いろいろ試しておきたい。
2019/12/15	Tullus OS での衛星データの取得方法をいろいろと調べている。すべてのデータが提供されている訳ではないので、データがあるかないかの判別が難しい。自分なりの方法を見つけ出す必要がある。
2019/12/17	衛星画像のタイルを重ねて表示する方法が分かったので、空母「かが」の全体を表示することが可能となった。航空写真との比較で空母「かが」であることも確認できる。高解像度の画像ではここまで確認することができるのであるが、撮影されている箇所が限られているのが残念である。ANVIR2の解像度では船体番号までは認識できない。
2019/12/18	衛星データから富士山の標高をグラフ化するプログラムを作成した。緯度・経度に沿った断面の標高が求められるのは面白い。また標高の3Ｄ表示も可能で凹凸がよくわかる。
2019/12/19	衛星データに等高線を重ね書きする方法が判明した。これで等高線、標高、3D グラフをまとめて表示することができるようになった。衛星データをどのように活用していけばいいのかを考えてみたい。
2019/12/21	Tellus OS からアメダスのデータを取得し、その風速ベクトルを地図上に表示することが可能となった。Folium というモジュールを使うことで比較的簡単に地図上への表示が行えた。まだまだいろいろなことが行えそうなので試してみたい。
2019/12/22	アメダスの降水量データを地図上に表示することができた。いろいろできて面白い。リアルタイムでデータが取得できれば利用価値が高そうであるが、いまはまだできない。
2019/12/26	FITS ファイルの表示、赤道座標、銀河座標を計算するプログラムを作成した。この結果を全天図に表示することも可能となった。いままであまり意味の分からなかった銀河座標の意味も少し実感が湧いてきた。座標変換の方法についてまとめておく必要があると感じている。天文学では座標の概念が難しい。
2020/01/04	天球座標についてまとめていたら時間がかかってしまった。角度の測り方や直交軸の取り方が文献によって異なっているので、一つの基準で考えをまとめるのに苦労した。やっていることは、単なる座標系の回転なので簡単であるが、座標系の位置関係の理解がややこしかった。統一された基準がないので、文献ごとに座標系の取り方をチェックする必要があるようだ。これでいままで、分かりにくかった天体位置の表し方が理解できた。
2020/01/05	天球座標のHTML化が完了した。次は、FITSファイルにおける座標変換の導出を行いたい。
2020/01/08	FITSファイルの配列データから天球座標を求めるために必要となる赤道座標系と局所球面座標系との変換についてまとめた。次は、球面から平面への投影法について考える必要がある。これは地図作成に関する技術のようで様々な手法が提供されている。
2020/01/11	天球座標について大幅に改定を行った。すべて行列の積で考えた方が分かりやすいことが判明した。逆変換の式もまとめた。文献によく記されている公式を無理して導く必要はなく、自然と導かれるのであった。
2020/01/13	天球座標から局所球面座標への変換のHTML化を忘れていたので追加した。
2020/01/14	モルワイデ図法についてまとめた。地図投影法の一つとして中学の地理で学習する内容らしいが、まったく覚えていなかった。この投影法を用いて宇宙マイクロ波背景放射から求まる温度分布が表示されている。あの図の意味がやっと理解できるようになった。いままで何となくそんなものかと思っていただけであったが、理解が深まった。
2020/01/15	FITSファイルの読み込みプログラムにおいて、ハンメル図法に加えて、モルワイデ図法を追加した。これでFITSファイルデータからの赤道座標の取得、銀河座標への変換、全点図の表示方法の詳細が明らかにできた。
2020/01/16	球面調和関数の実数部をモルワイデ図法でまとめて表示可能となった。これで値の変化の様子が分かりやすくなった。また、背景放射の図との比較もしやすくなった。
2020/01/21	WMAP の温度揺らぎデータからのパワースペクトルの計算に挑戦した。球面調和関数に展開すればいいのであるが、実際にこれを行うのが非常に大変であることが分かった。フーリエ変換の FFT のような高速アルゴリズムに対応したモジュールが Windows で提供されていない。単純計算では、高次の球面調和関数は計算できないし、計算時間も莫大になることが分かった。Mathematica を用いれば計算できるが信じられないくらい時間がかかる。文献でよくみられるパワースペクトルのの図を求めるのは一筋縄ではできない。Linux では球面調和関数による展開を高速で行えるモジュールがあるので、これを利用するために Linux 環境の構築に取り掛かることにした。しばらく時間がかかりそうである。このモジュールで本当に計算できるかどうかも不明であるがやってみることにした。
2020/01/22	計算が終了したので結果を追加した。全体的にみると何となく傾向は出ているようであるが、よくわからない結果となってしまった。Linux 環境の構築に取り掛かりたい。
2020/01/25	VirtualBox で Ubuntu の Linux 環境を構築し、 Python をインストールすることで healpy を利用できるようになった。環境構築に 2 日ほどかかってしまった。その際の手順をまとめておかないとまた忘れてしまいそうである。 healpy によって信じられないくらい高速で球面調和関数による展開が実行できる。いままで１日以上かかってもまともに計算できなかったのが、ほんの数秒で完了する。これを用いて温度マップの球面調和関数展開を行うと、CMB モデルに対しては正しく計算できていることが確かめられた。これで一歩前進である。次の課題は、実際のデータに対する解析である。実際のデータでは、銀河面からの放射が含まれるためこれを除去するためにマスクが用いられる。このため全天データに欠損が生じることになる。このようなデータの欠損に対応する必要があり、かなり難しそうである。この方法を確立しないと文献にあるパワースペクトルのグラフは得られないようである。これからその方法について調べていきたい。
2020/01/29	マスクされたデータに対する球面調和関数展開の考え方が分かった。利用できるデータ範囲が限定されている場合、かなり複雑な手続きが必要となる。ある程度の範囲が利用できる場合は、$1/f_{sky}$ を掛ける簡単な補正で対応できることが分かった。この種の計算では、球面調和関数の性質を熟知している必要がある。
2020/02/05	測定装置のビームの影響をどのように扱えばいいのかわからず苦労している。ビームのパワースペクトルを計算すればよいと書かれていたので、その方法を実行すると効果があることが確認できた。ただし、この方法では計算精度に気を付けなければならないことも分かってきた。なぜこの方法でうまくいくのかは今後の課題である。
2020/02/20	マスクありデータに対してどの程度まで $C_l$ を再現できるかを確かめた。$f_{\mathrm{sky}}=0.78$となるようなマスクに対しては、78% のデータが使用できるので、行列 $M_{ll\|'}$ を用いた計算と第1次近似はほぼ同じであることが確認できた。マスクに対する $W_l$ が $l=3000$ 程度まで正確に計算できれば、$C_l$ を再現できるようである。問題は、マスクとビームの効果が同時にある場合である。このとき、どのように処理すればいいのかわかっていない。文献の方法では、まだ上手くいっていない。
2020/03/03	マスクとビームの影響があるデータに対しては、マスクに対する行列を計算し、連立方程式を解くことであるある程度まで対応可能であることが確認できた。ただし、ビームサイズが大きくなると大きな $l$ の値までは再現できないことも判明した。これらの知見で実際のデータにどこまで対応できるかを検討したい。実際のデータではノイズの分離が簡単ではない。
2020/03/05	これまでに得られた補正手法を実際の WMAP の温度揺らぎデータに適用し、どの程度 power spectrum を導出できるかを検討した。ノイズの大きさなどを適当に調節すれば、文献で得られている power spectrum に近い分布を求めることができることが判明した。最初は、温度ゆらぎのデータを球面調和関数展開すればいいだけかと考えていたが、実際のエータから求めるには様々な手続きが必要となることが理解できた。今回は、非常に初歩的な手法を用いただけであるので、本格的な解析を行うためには、さらに詳細な手続きが必要となる。素人がこれ以上詳細に検討することは難しいので、このあたりでひと段落とした。
2020/03/06	Google Colab は Linux 環境であるので Google Colab を利用すれば、環境構築なしで簡単に healpy を利用できることが分かった。そのため Colab 上でのプログラムを作成しアップロードしておいた。Linux 用の各種モジュールを試すには Google Colab を利用するのが便利である。
2020/10/12	久しぶりに更新を行った。ずいぶん時間がたったので使い方を忘れている。今回は、以前からまとめようと思っていたラプラス演算子の極座標表示の導出を行った。ずいぶん前に1度計算したことがあり大変だったことを思い出した。丹念に計算すればできるのであるがめんどくさい計算である。ここでもう一度確認できたのはよかった。今はディラックの「量子力学」を勉強中なのでまたその内容についてもまとめておきたい。
2020/10/13	ラプラス演算子の極座標表示と関連しているので、軌道角運動量の極座標表示もまとめておいた。忘れてったことを思い出せた。
2020/10/17	ラプラス演算子の極座標表示のもう少しコンパクトな計算方法があったので、前回の内容を改訂した。少し計算が短くなって分かりやすくなった気がする。
2020/11/01	以前からまとめておきたいと考えていたルジャンドル多項式の加法定理についてまとめた。古典電磁気学での電磁波の放射を考える際に必要になる公式の一つである。計算には他にもいろいろな特殊関数に関する公式が必要となり、一つ一つ証明していくのはかなり大変である。
2020/11/02	コーシーの主値とデルタ関数の関係についてまとめた。ノートに書いていた内容をWeb上にも残しておくのはいいことだろう。ベッセル関数についてもまとめたいが、内容が多くて大変そうなのでしばらく置いておくしかないようだ。
2021/02/03	このところ忙しくて更新することができなかった。ディラックの量子力学の§57まで来たがここで分からなくなって1ヶ月停滞している。今回は、Lxyでのヤング図形とブラケットの描き方についてまとめた。Lxyでも描けるようである。これらを使って量子力学をまとめたいと考えているが、まったく進まない。
2021/02/06	Lxyではヤング図形を書くことができたが、HTMLで使用しているMathJaxではヤング図形を描けないことが判明した。Webで表示するには画像として貼りつけるしかないよだ。調べてみるとWebページのヤング図形は確かに画像として貼りつけられていた。ブラケットもTEXでの命令がそのまま使えず、新たにコマンドを定義する必要があった。いろいろ組み合わせて使う必要があり面倒である。
2021/02/15	論理における真理表についてまとめた。簡単な内容であるが「pならばq」やその否定はすぐに忘れてしまうのでメモとして書いておいた。真理表を使えばド・モルガンの法則も簡単に確かめられる。
2021/02/16	集合におけるド・モルガンの法則の論理記号による証明を追加した。ベン図以外でド・モルガンの法則の法則を証明できるのは面白い。いかにも数学的な感じがする。
2021/02/19	「すべての」と「ある」の否定についてまとめた。これで集合族に対するド・モルガンの法則のも証明可能となった。
2021/02/20	一部修正しHTML化した。
2021/03/11	以前から気になっていた集合列の極限についてまとめた。「無限個の集合に属する」が何を意味するのかを理解するのが難しかった。とびとびでもいいので無限この集合に属するということがわかれば言っていることが理解できるようになった。直感的にはわかりにくい考え方である。
2021/03/12	内容の修正とHTMLかを行った。
2021/03/13	「ならば」の考え方は、いつも混乱するので整理する意味でまとめた。日常的な意味とは異なるので、慣れるまで混乱しそうである。
2021/03/17	同値な関係についてまとめた。真理表を比較して証明するのが基本のようだ。
2021/03/20	同値な関係についてHTML化を行った。
2021/10/10	久しぶりの更新となった。以前から謎であったファインマン物理学における電場の表現についてその確認方法を記憶のためにまとめた。微分計算が非常に煩雑で分かりにくいが、通常の表式と一致することを示すことができた。遅延ポテンシャルの計算は大変である。これで安心してファインマン物理学の輻射の内容を理解することができそうである。理論電磁気学での公式の導出は後日行いたい。
2021/10/18	ファインマンの表現について改訂を行った。前回省略していた部分をAppendixとして追加した。そのため随分と長くなってしまった。もう少しコンパクトにまとめられたかもと反省している。リエナール・ヴィーへェルトのポテンシャルから電場を求めるのは単なる計算であるけれども、かなり大変であることがよく分かった。そして求め方は2通りあることも分かった。一つは本文で示したリエナール・ヴィーへェルトのポテンシャルを直接微分する方法、もう一つは元の式に戻って微分する方法であった。どちらの方法も計算が煩雑になることには違いはない。これでファインマン物理学の一つの謎が解決したので良かった。
2021/10/22	ファインマンの表現の間違いの修正とHTML化を行った。これで一段落である。久しぶりの作業だったので忘れていた部分も多く手間取ってしまった。
2021/10/23	以前から気になっていたn解の線形微分方程式の独立な解の数についてまとめた。数学的には厳密ではないかもしれないが、これでn個の独立解があり、n+1個の独立解がない理由が納得できた。特殊関数を考える際にも、2つの独立解が必要であることも理解できた。
2021/10/24	昨日の線形微分方程式の修正とHTMLかを行った。できれば、次は、ベッセル関数について考えたい。
2021/10/27	パラメータを含む積分の公式を証明するために関数列や関数列級数の理解が必要になったのでまとめたが、随分と長くなってしまった。普段あまり気にしていない一様収束の概念が重要となっている。ここでの定理を用いて公式を証明していきたい。
2021/10/29	関数列や関数列級数のミスの修正とHTML化を行った。ここで証明した定理を用いて、いよいよパラメータを含む積分の公式を証明したい。簡単な公式の証明をするだけなのに準備が大変である。
2021/11/01	ベッセル関数との関連でケプラー問題を見直していると、離心近点離角についても説明で間違いを発見したので修正した。あわせてケプラーの方程式を通常の形にも表現した。これを用いてベッセル関数の説明を行いたい。
2021/11/02	ベッセル関数とケプラー問題の関係がやっと理解できた。惑星の運動を解析する手段としてベッセル関数が考えられたようだ。単に微分方程式の解というだけでは分からなかった歴史的な経緯である。ここから第1種、第2種のベッセル関数を級数で表すこととその漸近形を考えていく予定であるが、道はかなり険しいので途中で断念するかもしれない。
2021/11/03	ベッセル関数(I)をHTML化した。
2021/11/06	ケプラー方程式の面積速度一定からの導出方法を追加した。
2021/11/08	ベッセル関数の級数表示をまとめた。今回$a_1=0$となる理由もよく理解できた。また、第2種ベッセル関数は唐突に関数形が与えられているように感じていたが、ロンスキー行列式をもとに考えると関数形についても納得がいった。ベッセル関数を求めるには、ガンマ関数の性質が必要になるので、ガンマ関数についてもまとめておく必要がある。一段落したら取り掛かりたい。次は漸近形を求めるための積分表示について考えたい。
2021/11/14	$Y_{-n}(z)=(-1)^{-n}Y_{n}(z)$の証明を第1種の場合と同様にできるかと思っていたが、簡単にはできないことが分かった。積分表示を経由しての証明となった。もっと簡単な方法があるのかもしれないが今は分かっていない。もし分かれば追加したい。この証明に随分と時間がかかってしまった。積分表示を証明することも課題として残されている。次に、ベッセル関数の複素積分表示について考えるが、分岐の問題があって分かりにくい。
2021/11/19	ベッセル関数の積分表示を考える際に必要となる分岐の考え方を復習していたら時間がかかった。かなりの部分を忘れていたので思い出すのが大変だった。関数 $w=\sqrt{(z-a)(z-b)}$ んぽ無限遠点を分岐点だと勘違いしていたようだ。今回初めて分岐点でないことが理解できた。左右に伸びた切断は無限遠点を介してつながっていると考えなければならないことがわかった。いままで理解できていないことがわかったので良かった。
2021/11/20	分岐点を含む関数の積分の例を追加した。ここで得た知識をもとにベッセル関数の積分表示を求めていく予定です。積分路の選ぶ方に任意性があることが難しく感じる点である。人によって積分路が異なるので混乱してします。
2021/11/20	$Y_{-n}(z)=(-1)^{-n}Y_{n}(z)$の証明が簡単にできることが分かったので修正した。難しい積分表示を用いる必要はなかったようだ。積分表示の方法は参考までに残しておく。
2021/11/21	分岐点と特異点との関係を追加した。
2021/11/22	ベッセル関数の積分表示を考える際に現れる複素関数に対する切断の例を追加した。まだ全体像がはっきりとつかめていないために追加や修正が度重なっている。必要があれば今後も修正していきたい。
2021/11/23	ベッセル関数の積分表示の半分までまとめることができた。分岐、偏角、積分路の取り方が難しく感じた。しかし、いままで謎であった8字型の積分路の理由とベッセル関数との関係が何とか理解できた。偏角（位相）の取り方がとても難しい。この考え方を理解できれば、他の関数に対する積分表示も理解できるであろうと期待している。残りの$J_{-\nu}(z)$に対する表示を求められれば、漸近形の計算に近づけそうである。まだしばらく時間がかかりそうである。
2021/11/24	$J_{-\nu}(z)$に対する表示までは到達した。ここではガンマ関数の公式を多用している。ガンマ関数の公式についても考えなければならない。次は、ハンケル関数の積分表示である。漸近形の計算にはハンケル関数が必要である。ハンケル関数までできてひと段落となる。
2021/11/26	ハンケル関数の複素積分表示まで辿り着いた。これでやっと漸近形を求める準備が整った。今回、複素積分表示の考え方が理解できたので、いままでの謎が一つ解明できた。
2021/11/29	漸近級数を考える際に必要となるハンケル関数の積分表示を追加し、HTML化を行った。偏角をどうしてそのように定めるのかの理由が難しい。自分ではとてもできそうにない。
2021/12/01	やっとベッセル関数の漸近展開まで辿り着いた。$z\rightarrow\\infty$での関数形を導出できた。これで今までの謎が解決した。漸近展開の一般論については難しい点があるので今回は省略している。また、分かったら追加していきたい。次は、半奇数次のベッセル関数の公式を証明する予定である。これでレイリーの公式が証明できるかもしれない。大変な道のりである。
2021/12/04	漸近級数の定義と簡単な説明を追加して、HTML化した。これで今回の展開が漸近展開になっていることが納得できた。漸近展開の考え方は難しい。テーラー展開との違いに注意しなければならない。
2021/12/05	記述の一部を修正し、式番号を変更した。次は、ベッセルの漸化式をまとめる予定である。
2021/12/06	今後使用するベッセル関数の漸化式についてまとめた。これを利用して次数が半奇数の場合を考えていく。
2021/12/06	次数が半奇数の場合、三角関数の微分で表されることを説明できた。これで球面ベッセル関数に対する準備が整った。
2021/12/07	球面ベッセル関数をまとめた。ルジャンドル関数を除いて、これでやっと準備ができた。次からレイリーの公式に取り掛かりたい。ルジャンドル関数はさらに手間がかかりそうなので、今回は省略することにする。また、気が向けば考えよう。
2021/12/08	レイリーの公式を証明するための準備として、ラプラス方程式の一般解についてまとめた。ルジャンドル関数についての性質を利用している。この性質を示すのは、ベッセル関数の時以上に大変なので今回は認めて先に進むことにする。このルジャンドル関数の性質によって、第2種ルジャンドル関数が現れないことおよび一般解が整数についての和で表される理由が分かるので重要なポイントである。いつか解明したい。
2021/12/10	ラプラス方程式の一般解のHTML化を行った。次は、ヘルムホルツ方程式の一般解を考える。
2021/12/11	ラプラス方程式と同様にすれば、ヘルムホルツ方程式の一般解が球面ベッセル関数とルジャンドル関数で表現できる。やっとここまで辿り着いた。ここまで納得できたので、次はレイリーの公式を証明したい。
2021/12/12	やっと目標としていたレイリーの公式まで辿り着いた。ルジャンドル関数の性質については省略したが、球ベッセル関数についてしっかりと理解できた気がする。この公式を用いて位相のずれを考えたいが、その前にもう一つ証明しておきたい公式があるので、どちらに進むかを検討中である。今回はベッセル関数の漸近形を求めるのが大変であった。いままでなぜあのような形になるのか不思議であったが、今回理解できたので良かった。
2021/12/15	散乱問題を考える際に必要となるもう一つの公式：グリーン関数の部分波展開についてまとめた。これで必要な関係式は整った。準備にこれだけ時間がかかるとは大変である。これからしばらく散乱問題を考えていきたい。久しぶりに物理の話に戻れそうである。
2021/12/19	レイリー散乱を正しく取り扱おうとするとベクトル波についての取り扱いが必要になる。この取り扱いがミー散乱と関係しているのでこれを調べているといろいろと不足している点が判明した。そこで陰関数定理の見直しを行った。今回は逆関数に関する定理を追加した。陰関数定理の数学的に厳密な証明は、かなり面倒なものであるので今回は省略している。これに取り掛かるといつまでかかるかわからない。次に必要となるのが、直交座標系での勾配、発散、回転の表示を求めることである。以前はここまでやっていなかったのでこの点をまとめておきたい。つぎつぎと曖昧な点が出てくる。
2021/12/20	いつも分からなくなってしまうので勾配ベクトルと方向微分の関係についてまとめておいた。方向微分が最大になる方向が勾配ベクトルの向きであることを忘れないようにしたい。
2021/12/21	ラプラス演算子をベクトル関数に作用させる場合の注意事項をまとめた。スカラー関数の場合と混乱しやすいので注意が必要である。これでいままではっきりしなかった点が明確になった。このことに注意すれば、マックスウェル方程式から直接簡単に電場、磁場に対する波動方程式を導くことができる。
2021/12/24	直交曲線座標について整理を行っている。以前の内容では勾配や発散、回転を導出できないので改めてまとめ直している。混乱しそうな内容であるので注意が必要である。
2021/12/26	直交曲線座標のまとめが完了した。今回導出した公式を適用すれば、極座標でのラプラス演算子も比較的簡単に求められる。ただし、この公式を導出するのが一苦労であるので、直接求めるのとどちらが効率的かは分からない。今回の公式を微分形式で表現すれば、いろいろと思いことが出てきそうであるが、それは次の機会とする。
2021/12/27	電磁波の散乱を考えるために、しばらく電磁気学の復習が必要となった。忘れていることも多いので、ここで再確認しておきたい。
2021/12/29	物質中での微視的な観点と巨視的な観点をつなぐ考え方がいままでよく整理できていなかったが、これで少し整理できたような気がする。今年はこれで終了となりそうだ。休み休みでほそぼそと続けることができてよかった。
2021/12/30	年内に切りのいいところまで完了することができた。この続きは来年となる。次は、境界条件を検討するところまでいきたいものである。
2022/01/01	静止物体中の電磁場の改訂を行った。分極ベクトルの説明を追加した。分極ベクトルと面の法線ベクトルの内積が分極により移動した正電荷の量を表すことはよく忘れてしまう。イメージするのが難しい点である。
2022/01/02	物質中のマクスウェル方程式について考えているが、EとD,BとHの関係が混乱する。真電荷のないときに誘電率が真空誘電率と異なる状況が理解できていない。この点についてもう少し考える必要がある。
2022/01/03	真電荷がないのではなく、無限遠に存在して電場を作り出していると考えなければならないことが分かった。このあたりの考え方は実に難しい。あまり説明されていないので悩むところである。簡単に書いてあることの意味を理解するのは難しい。
2022/01/04	一部の記述と図の変更を行った。
2022/01/05	目標とする散乱の解析からはわき道にそれてしまうが、ローレンツの電場についてまとめた。分極の考え方が以前よりよく分かるようになったので、ローレンツの電場についても分かりやすくなった気がする。それでも混乱しやすい内容である。
2022/01/12	散乱問題を見据えてマクスウェル方程式の球面波解を求める準備に取り掛かった。極座標表示での解をこのようにして求めることができることをいままで知らなかったので大変勉強になっている。まだまだ知らないことばかりであるので、なかなか進まない。
2022/01/13	具体的な例として、スカラー関数を平面波と選んだ場合の電磁場を構成した結果を追加した。その結果、よく知られている電磁場となることが確認できた。このようにヘルムホルツ方程式を満たすスカラー関数から電磁場が構成できるのはとても面白く感じた。
2022/01/14	追加修正とHTML化を行った。これで平面波までは完了した。次は、球対称な球面波がいいかもしれない。
2022/01/15	電磁波は必ず横波となるとは限らないことが判明したので、（注）を追加した。平面波の場合は横波となるが、その他の場合は必ずしも横波とは限らないので確認が必要であることが分かった。注意しなければならない。
2022/01/17	球面電磁波の取り扱いについてまとめた。1）球対称なスカラー関数に対応するような電磁波は存在しない。2）電磁波は横波とは限らない。という2点が明らかになったのは驚きである。近距離では球面電磁波においては縦波成分も存在しているので横波とは言えない。電磁波は横波という思い込みは危険な考えだとわかった。球対称に広がる電磁波といううイメージも正しくない。よく調べてみることが大切である。
2022/01/18	一部修正追加とHTML化を行った。次に進むためにルジャンドル多項式の公式が必要になるが、証明できない公式があるので困っている。どうすれば証明できるのだろうか？手持ちの本の中には証明は書かれていない。しばらく考えなければならない。
2022/01/19	公式集には載っているが、いろいろ調べたがどこにも証明が書かれていないので諦めかけていたが、ふと気が付いて試してみるとうまく証明できた。できてみると何でもないことであった。証明できるまでは不思議な関係と思っていたが、証明できると納得できた。分かってしまえば、不思議さはなくなる。
2022/01/19	レイリーの公式にゲーゲンバウアの積分表示（レイリーの公式の逆変換）を追加した。これで平面波を球面波の重ね合わせとして表すことも、球面波を平面波の重ね合わせとして表すこともできることがわかった。
2022/01/22	準備として構成ベクトルの直交性について調べた。論文では$m\neq m'$に限定している部分があるのだが、その理由がよく分からない。単純だけれども同じことを繰り返す面倒な計算であった。
2022/01/23	組み合わせについて向けていた部分があったので追加した。これだけ準備できていれば後は順調に進むかと思っていたが、とんでもなかった。次の平面波の極座標への展開では、かなり複雑な計算が必要になる。論文では、「同様にして」と簡単に求まるように書かれているが、とんでもないことがわかった。論文での「同様にして」、「容易にわかるように」の文章の罠にはまってしまった。これらを文字通りに受け取ってはならないことを忘れていた。
2022/01/25	平面波を極座標系で展開する計算を行っている。係数$a_n$は求めることができたが、かなり複雑な計算を行わなければならなかった。次に、係数$b_n$を求めるのだが、これがまた一段と複雑になる。かなり時間がかかりそうである。論文には書かれていないので、かなり考えさせられた部分である。
2022/01/26	係数$b_n$までの計算をまとめることができた。ルジャンドル多項式と球ベッセル関数の煩雑な計算が続く。これでやっと論文の結果が確かめられた。こんな煩雑な計算が必要となるので普通の教科書には説明されていないのも納得できる。ここまで単純計算ばかりだったので、次は、境界条件の物理的な意味を理解したい。
2022/01/29	ミスの修正とHTML化を行った。これでひとつの難所を超えたことになる。次は、この解を境界条件を考慮して繋ぐことである。ここまでは何とかたどり着きたいところである。
2022/02/01	この後で必要となるので、電磁場に対する境界条件をまとめた。いままで曖昧だった点をはっきりさせることができた。
2022/02/02	図の追加とミスの修正を行い、HTML化を完了した。これで準備が整った。この条件を使って解を求めることになる。
2022/02/08	導体との境界条件を考える際に分かりにくい点があったので全面的に改訂した。面電荷密度と（体積）電荷密度の関係が分かりにくかった。導体表面での境界条件を考えるときには、表面電荷密度や表面電流密度の概念が必要なのであった。また、通常の導体の場合、表面電流密度は0となることも分かりにくかった。よく考えてみると分からない点が多くある。
2022/02/10	ミー散乱は金属球での散乱を考えることになるので、導体内での電磁場の伝播についてまとめた。単位系の違いで、係数が一致しなくて苦労した。また、導体表面位電荷が誘起される条件が判明したのでまた追加したい。境界条件の項をまた改訂する必要が出てきた。なかなかミー散乱まで進めない。
2022/02/11	ミスの修正とHTML化を行った。これから境界条件を修正したい。
2022/02/12	導体表面に表面電荷密度が生じるための条件を追加した。表面電荷密度が生じるのかどうか曖昧であったが、これではっきりした気がする。この部分はいろいろと（注）が多くなってしまった。文献で前提条件があまり明確に描かれていないことが原因であろう。
2022/02/13	『平面波の極座標への展開』における磁場の表記にミスがあったので修正した。eとoが入れ替わるのかと思っていたが、そんなことはなかった。この点は論文4）式(78)のミスである。これをうかつにも信じてしまったのがよくなかった。この論文では、この後も同じミスが続いているので注意が必要である。いろいろと修正点が見つかりなかなか進まない。
2022/02/14	やっとMie散乱における展開係数を定めることができた。ここまで来るのは大変であった。今回求めた結果も符号や記号がかなり混乱しそうなものでありミスがないかチェックが必要である。他の文献と比較すると定義が違っていたりして、直接比較することが難しい。どれが正しい表式であるかを見極めるのが難しい。文献によって微妙に表現が異なるのである。結果だけ見ても比較にならない点が問題である。今回参考にした論文も中盤以降ミスプリが目立つので、この結果が正しいかどうか疑わしくなる。時間をおいて、もう一度確認が必要であろう。
2022/02/15	他の文献とに比較を行い一致することを確認できた。ミスプリや定義が異なっていたりして確認に時間がかかった。特に、ミー散乱の係数に関してはミスプリが多く見られる。どれが正しいのか見分けるのが難しい。ほとんど確認する人がいないためであろう。今回の計算は正しいと思うのだが、どこかにミスがある可能性も否定できない。
2022/02/16	求めた展開係数がM. Bornの教科書での結果に対応することが確認できたので、その点について一文を追加した。これで今回求めた係数に間違いがないことを確信できた。次は、散乱強度の表式についてまとめたい。その後、レイリー散乱を求めて、実際に数値計算できるかどうかを試したい。よく見られる散乱強度の角度分布をpythonで実際に計算することができるかどうか試してみたい。球面ベッセル関数の級数を精度よく計算できるかどうかが次の大きな課題となるようである。
2022/02/17	文献[8]で相対屈折率の定義が分子・分母が逆かと思っていたが、そうではないことが分かったので、その部分を削除した。
2022/02/18	ミー散乱における散乱強度の表式の導出を完了した。ここまで実に長い道のりであった。これで表式までは求まったので、次はこれをどのように計算するかが問題となる。まずは、レイリー散乱の場合を確かめることを行う。その後に、数値計算できるかどうかである。
2022/02/20	レイリー散乱の近似計算で球ベッセル関数の展開の次数を上げる必要が出てきたので、球ベッセル関数に関する記述の改訂を行った。後で必要になるので、球ベッセル関数の漸化式も追加した。これらを用いてリッカチ・ベッセル関数の性質もまとめておきたい。
2022/02/21	リッカチ・ベッセル関数についてまとめた。数値計算の際に重要となる漸化式の導出を行った。これでレイリー散乱に取り掛かれる。いろいろと準備が大変である。
2022/02/23	レイリー散乱も含めて記述しようと思っていたが、レイリー散乱の部分は近似計算が長くなるので、別途記述することにした。前回の部分に図を追加し、HTML化して、一応の完成とした。次は、レイリー散乱を扱う。ここから数値計算を含めて具体的な値を示していきたい。
2022/02/24	散乱強度のグラフを描くために、久しぶりにPythonを使おうとしたら使い方を忘れていた。思い出すのに時間がかかってしまった。使わないとすぐに忘れてしまうので困ったものである。細かい規則が多くて覚えていられないのである。
2022/02/25	近似式の計算過程を追加し、HTML化を行った。これでレイリー散乱までが完成した。やっと散乱強度が波長の4乗に反比例することが導きだせた。また、その時の強度分布も明らかになった。次は、いよいよ数値計算プログラムの作成となる。まずは、既存のプログラムの利用を試してみたい。ここからは時間がかかりそうである。これを完了できれば、入門編は終了となる。
2022/02/27	散乱強度の数値計算に取り掛かった。いまではPythonによる計算プログラムが提供されているので、これを利用すれば簡単に散乱強度を計算することができる。昔は考えられないことであった。自宅のPCで素人が計算できなど夢のようである。今回は、サイズパラメータの与え方で混乱してしまったので、この点は注意しなければならない。虚数を含んだ計算となるため大変かと思っていたが、Pythonでも倍精度で複素数を扱えるようなので、問題なく計算できている。計算結果の解釈と数値計算方法については別途まとめておきたい。
2022/02/28	垂直と平行の表示が逆になっていることがわかり修正した。文献[3]においてもFig4.9(b)で表示ミスがあり、これの影響を受けたようである。注意しなければならない。
2022/02/28	水中の金粒子による散乱強度の計算結果を追加した。BHMIEとPyMyScattでの計算結果は一致しているが、同じパラメータに対する文献[3]の結果とは異なっており、どちらが正しいのか判断に困る。ミスプリや粒径の定義などはっきりしない点が多いので判断が使いないのが現状である。これが正しいという計算結果があればいいのだけれども、基準となるものが見つからない。この分野は、肝心のところでのミスが多くて難しい。
2022/03/01	散乱係数の計算結果に対する説明を追加した。他の文献と比較すると微妙に異なる点があり、どちらが正しいのか判断が付かない。正確な情報が欲しいものである。
2022/03/02	HTML化を行った。これで計算できることまでは確かめられる。次は、数値計算方法につてまとめたい。
2022/03/04	数値計算に際して、ルジャンドル陪多項式に関する漸化式が必要になったので、その証明を追加した。いろいろな関係式が必要になるので、その一つ一つを証明するのは大変である。ルジャンドル陪多項式の漸化式は今まで考えたことがなかったので証明に時間がかかってしまった。
2022/03/05	ミスの修正とHTML化を行った。これで計算手法についての準備ができた。
2022/03/07	ミスプリントの修正を行った。
2022/03/08	BHMIEプログラムの概要についてまとめた。1980年代に書かれたプログラムなので、現在ではコンピューターの計算速度、メモリーが格段に進歩しているので、もっと簡単に記述できるように感じられた。この点についてもう少し検討してみたい。
2022/03/09	対数微分に関する漸化式でどのくらいの精度があるのかをscipyによる直接計算と比較することにより調べた。この漸化式により正しく計算できることが確かめられた。さすがによく考えられているようだ。
2022/03/10	グラフの追加、ミスの修正、HTML化を行った。対数微分の漸化式が確かめられたのは良かった。
2022/03/11	BHMIEの内容をscipyを用いて書き直した。計算結果は一致するので、scipyを用いた方が簡単であることがわかった。昔と今との技術の差を改めて感じた。自宅で複素数のベッセル関数の計算が簡単にできるなど夢のようである。昔はこんなことはできなかった。
2022/03/13	消散効率のサイズパラメータ依存性の計算を行った。散乱係数の計算が可能となったので、各種の量の計算もできそうである。実際の水に対して計算する場合には、複素屈折率の波長依存性についても考えなければならないことがわかった。こうなるとさらに複雑になりそうである。各種物質に対する複素屈折率の波長依存性のデータがWeb上にまとめられているのでこれを利用するのがいいであろう。便利な時代である。
2022/03/15	消散効率の表式の導出において必要となるルジャンドル陪多項式の関係式の追加を行った。次々と公式の追加が必要になる。一歩前進するのは大変である。次は、ポインティング・ベクトルの計算であるが、これがまた大変なことになりそうだ。
2022/03/16	ベッセル関数(II) ーベッセル関数の級数表示ーにおいて、$\gamma$ が抜けているミスがあったので修正した。また、ミー散乱(II)での上添え字忘れを修正した。次の準備のために見直しているといろいろとミスが見つかってしまう。
2022/03/17	散乱断面積の計算で必要となるベッセル関数のロンスキー行列式についてまとめた。ミー散乱の計算では、ベッセル関数、ルジャンドル関数に関する多くの知識が必要である。特殊関数をこれほど使いこなさなければならないとは内容は単純であるが難しく感じるわけである。
2022/03/18	実際に取り扱えるポインティング・ベクトルはその時間平均であることをいままであまり意識していなかったが、今回その意味が理解できた。時間平均を考えると、よく見慣れた表式が得られることがよく分かった。
2022/03/19	ミスの修正とHTML化を行った。次は、いよいよExtinctionの概念の説明に取り掛かりたい。ルジャンドル多項式およびルジャンドル陪多項式の漸化式の内容を一部拡張した。
2022/03/20	括弧ミスがあったので修正を行った。時間をおいて見直すといろいろとミスが見つかる。
2022/03/21	遠方での電磁場の漸近形を調べた。電場が$1/r$で変化することが確かめられた。また、磁場と電場の関係も示すことができた。もっと簡単に示す方法もあるかもしれないが、これまでの知識をもとに考えた。
2022/03/22	消散断面積と光学定理についてまとめた。光学定理の意味が初めて理解できた気がした。量子力学の光学定理は吸収がない場合に対するものであることにやっと気が付くことができた。いろいろ誤解していたことが多いことがよく分かった。
2022/03/23	ミスの修正とHTML化を行った。これで消散断面積の意味が明らかとなった。次は、球形粒子での具体的な表式の計算となる。また、しばらく計算が続きそうである。単純な計算が延々と続いていく。
2022/03/24	次の計算に必要となるので、遠方における入射波の極座標表示をまとめておいた。本番の計算のためにいろいろと準備が必要である。
2022/03/25	ルジャンドル多項式の奇偶性が必要となるので、その証明を追加した。次々と必要なものが出てくるのでなかなか前に進めない。また、ミー散乱 (II) の磁場の表式にミスが見つかったので修正した。本問にいろいろとミスが見つかるのもである。
2022/03/26	ミー散乱における散乱断面積、消散断面積の表式の導出を行った。かなりの準備が必要な煩雑な計算であるが、結果はコンパクトに表現されている。これで何を計算しているのかの意味が理解できるようになった。数値計算はすでにできているので、この表式の理解ができたことは良かった。
2022/03/27	ミー散乱における散乱断面積、消散断面積の表式の他の導出法についての説明を追加した。次は微分散乱断面積と後方散乱係数についてまとめていきたい。まだまだ奥が深いので、どこまで行っても終わりが見えない。
2022/03/28	散乱振幅を用いた消散断面積、散乱断面積の表示を求めた。ミー散乱の文献を初めてみたときこの形で書かれていたような気がする。やっとその表式まで辿り着いた。また、微分断面積との関係も明らかになった。被積分関数を微分断面積と呼んでいるだけのことであった。いろいろな表示や関係の間を整理することが必要である。だんだんゴチャゴチャになりつつある。
2022/03/29	HTML化を行った。これで光散乱に関する基本的な公式は導出できたのではと思われる。ここからは応用編となりそうである。どこまで進むかが問題である。衛星画像や星間物質の観測への応用が面白そうである。
2022/04/02	計算した消散効率因子の解釈を勉強している。この1つのグラフからいろいろなことが考察できるのには驚いている。計算した結果をどのように解釈するかが大切な点である。ここまでやってきたことの意義が問われる難しい点である。
2022/04/05	消散効率因子に関する部分を完了した。このテーマは奥が深くてどこまで行っても終わりそうにない。初歩的な部分はカバーできたので、そろそろ終わりにするべきかもしれない。また、力学および場の古典論の章は都合により削除した。
2022/04/08	ルジャンドル多項式、ルジャンドル陪多項式の直交関係を証明しようとして躓いている。部分積分を繰り返せばいいのであるが、積分した部分が0になる根拠がよく分からずいろいろと考えた結果、微分に関する関係式が必要であることがわかり、その証明に時間がかかった。これを用いればうまくいく予定であるが、まだ問題があるかもしれない。昔、ルジャンドル陪多項式の直交関係は証明したような気がするが、その時は単純に0になると思い込んでいたようである。いまでは証明したことすら覚えていない。記録をWeb上に残しておくと後々便利である。
2022/04/10	ルジャンドル陪多項式の直交関係を何とか証明できた。非常にややこしいことになってしまった。部分積分で積分部分が0になることの証明に手間取った。一言で説明されていることが自明ではないことが分かった。難しいものである。
2022/04/11	ルジャンドル陪多項式の直交関係を証明する4つの方法があることが分かったのでそれらについての説明を追加した。特殊関数の証明はいろいろな方法があるのでかえって難しい。アルフケンの方法が予備知識なしで証明できるので一番いいような気がする。
2022/04/12	ルジャンドル多項式の直交関係を証明する2つの方法についてまとめた。他にもありそうであるが、いまのところこの2つである。次は、陪関数の対称性を証明しておきたい。まず、いろいろな関係性を整理しておくことがいいだろう。
2022/04/14	ルジャンドル多項式の直交関係でのミスプリントを修正した。ルジャンドル陪多項式のもう1つの直交関係についても証明が完了した。今回もかなり苦労した。部分積分で積分された項が1つだけ0と異なることに気が付くことがポイントであった。後は部分積分を繰り返すだけであるが、それが難しかった。Webの証明方法が非常に参考になった。詳しいことは英語で調べるしか方法はないようである。日本語では限界がある。
2022/04/15	ルジャンドル陪多項式の直交性の証明の記述の一部を変更した。$uv$項が0になることを一般的に示すようにした。
2022/04/16	ルジャンドル陪多項式の直交性の証明に多用したライプニッツの公式の証明を追加した。これまで順番がバラバラになっているので、これから並び替えを行って整理していく予定である。また、HTML化も行う予定である。
2022/04/17	ルジャンドル陪多項式の直交性の証明のHTML化を完了した。これまで証明せずに利用していた関係だったので、これでスッキリした気分になった。以前は部分積分における積分された光についてそれほど気にせずに0だと思い込んでいたような気がする。今回、0になる理由を明確にできたのは良かった。
2022/04/20	光の偏光について考えていたら、右回り、左回りを判断する条件について分からなくなり、いろいろと考えていたら進まなくなった。外積を考えることで何となく説明できているように思うが、これでいいのかどうか不安な点もある。
2022/04/21	円偏光の場合の電場ベクトルの様子を表示するプログラムを作成していたら時間がかかった。3Dでの表示が必要になるので、いろいろと調べていた。3Dでの表示は思うように表示できないので、いろいろと苦労した。正確な図を描くのは難しい。
2022/04/22	図にテキストを追加して分かりやすく改良した。時間を掛ければきれいな図が書けるようである。また、ミスの修正をお行いHTML化した。右か左かは定義によるので常に悩むところである。人によって左右が異なるのが混乱する原因である。
2022/04/24	電磁波の偏光についてまとめ始めている。楕円に関する単純計算が続いている。TEXで書きながら計算していると間違いが多くなる。最近、手で書くことが少なくなった。ノートに書いておくと時間がたつとどこにあるのか分からなくなるので、整理のためにWeb上にまとめておくのはいいことである。後で見直すときに便利である。
2022/04/26	3Dの図形をmatplotlibで描こうとしたら時間がかかってしまった。位置の調整が難しくて思うような図を描くのが難しい。視点の設定も苦労する。3Dの図を美しく描くのは難しいものである。今回はストークス・パラメータまで理解できたので、偏光に関する理解がかなり深まった。次は、円偏光と光子スピンの関係を考えたいのだが、一つ大きな困難が待ち受けている。円偏光によって荷電粒子は円運動するといわれているが、このことを示すことが難しい。
2022/04/29	円偏光によって荷電粒子は円運動することを証明しようとしたら、かなり大変なことになっている。相対論的に考えることが必要となり、4元ベクトルを久しぶりに取り合ったった。以前計算したことがあったが、細かいところは忘れていたので思い出すのが一苦労である。また、ハミルトン・ヤコビ方程式を実際問題に対して解くことになり、いろいろと考えさせられた。ランダウの方法で解いているが、このようなことはとても自分ではできないと感じた。まだ、途中であるが大筋は見えてきた気がする。
2022/05/01	やっと円偏光によって荷電粒子は円運動することを示すことができた。今回はかなり大変な計算になってしまった。相対論的な運動方程式を直接解く方法が見つかれば良かったのだけれども残念ながら見つからなかったので、今回はハミルトン・ヤコビ方程式を経由して求めるランダウの方法で考えた。これで円偏光の電磁波が電荷に角運動量を与えるというイメージが実感できるようになった気がする。
2022/05/02	ミスの修正とHTML化を行った。これでひと段落である。かなりややこしかったので時間がかかってしまった。相対論的なハミルトン・ヤコビ方程式を初めて解いた。かなりのテクニックが必要であることがわかった。
2022/05/03	非相対論的な極限では、簡単に円運動となることを説明できることを追加した。電磁波における電荷に対する磁場の影響を取り入れるためには相対論的な計算が必要になることを最後に理解できた。電荷の速度が光速に比べて小さときは、このような複雑な計算は必要ないのであった。
2022/05/04	計算をランダウに従ってガウス単位系で行っていたので、SI単位系への変換方法を追加した。他の文献での結果と比較するための電磁気での単位の変換はいつも混乱する。何とかならないのだろうか。これに計量の符号の違いが加わるとますます混乱してします。
2022/05/06	図の修正と円偏光した平面波の角運動量に関する記述を追加した。この部分は、この考え方で正しいかどうか疑問な点もある。また、相対論的には示せていないのが残念である。どの点を中心として、角運動量を考えればいいのかがよく分からない。とりあえず、現時点での結果となっている。
2022/05/09	ファインマン物理学に「単振動する電荷に円偏光した平面電磁波があたると円運動する」という記述を確かめる準備として非同次の2階微分方程式の一般解の求め方を復習していたら時間がかかった。定数変化法で求める方法は忘れていたので、思い出すのに時間がかかった。この方法で求めた解を用いて、数値計算すると抵抗がある場合は、定常状態として円運動することを確かめることができた。さらに位置ベクトルと電場の向きも平行でないことも確認できた。ファインマンに描かれている図と同じものを計算で求めることもできた。ただし、抵抗を考えない場合は、円運動とはならないことも分かった。円運動するためには、抵抗が働いていることが重要であることがよく分かった。この点については、これからまとめていきたい。円偏光の考察からいろいろなことがわかるのは面白い。これで円偏光と電磁波の角運動量との関係が分かりやすくなる。
2022/05/10	三角関数の合成公式でまとめれば、減衰のある単振動の強制振動のよく知られた表式にまとめることができた。円偏光による電荷の運動は、x,y方向で減衰のある単振動の強制振動を考えることと同じであることが理解できた。すぐに見抜ければ良かったのだが、電磁波と強制振動が関係しているとは気が付かなかった。
2022/05/11	a=b=0の場合も含めて考えることができることが分かったので少し修正した。また、HTML化を行った。次は、角運動量との関係を明らかにしたい。
2022/05/13	三角関数を合成する際に符号によって位相が変わることを考慮していなかったのでこの点を書き直した。また、表式もさらに具体的に表すことができることが分かったので、全面的に書き直した。これで教科書などでよく見る形となった。
2022/05/14	昨日までに得られた結果を用いて、光の角運動量と運動量についてまとめている。文献では、言葉で説明されているだけで具体的に計算されているわけではないので、曖昧な感じの理解であったがしっかりと計算すると納得できるような気がしてきた。今日は古典論の範囲までとしたので、明日は量子論との関係を明らかにしたい。これで光子のスピンは1であるがz成分は0とはならない理由が納得できるような気がしている。
2022/05/15	量子論との関係を追加して、HTML化を行った。これでいままで曖昧だった偏光とスピンの関係の理解が進んだ気がする。
2022/05/17	光子のスピン演算子についてまとめている。いままで光子のスピン演算子につては考えたことがなかった。円偏光状態との対応で考えるとイメージしやすいようである。光子のスピンについてはいままで気にしていなかったことを改めて気が付いた。
2022/05/17	光子のスピン演算子についてまとめている。いままで光子のスピン演算子につては考えたことがなかった。円偏光状態との対応で考えるとイメージしやすいようである。光子のスピンについてはいままで気にしていなかったことを改めて気が付いた。
2022/05/18	光子のスピン演算子の対角化とヘリシティについて追加した。ヘリシティの意味がいまいちつかみにくい。もう一度考えてみる必要がありそうだ。今日はここまでとする。
2022/05/19	ミスの修正とHTML化を行った。光子のスピンについてはここでひと段落としたい。
2022/05/21	レビ-チビタ記号を用いた行列式の表示についてまとめた。随分以前にまとめていたのだけれどもまだWeb上に載せていなかったので、ここでまとめることにした。今後、この関係を使っていくかもしれない。今回はまとめたノートを探し出すのに苦労したので、Web上で整理しておくことは大切である。
2022/05/26	以前に勉強していた微分形式に関する面白い文献が見つかったので、もう一度微分形式について勉強することにした。教科書によりいろいろな記述方があるので、いままでよく分からなかった点も多いので、ここでまとめて整理しておきたい。まずはマクスウェル方程式を微分形式で表すことを目標に進んでいきたい。今回は計算方法に主眼をおいて細かい点は省略して進むことにする。もし、理解できたら本格的に調べてみたい。まずは。慣れることであろう。
2022/05/27	微分形式のフォームとベクトルについてのまとめを行っているが、徐々にややこしくなってきているので完成までには時間がかかりそうである。以前やっていたことをだんだんと思い出しつつあるが、どこで躓いてしまうか心配である。ゆっくりと進むしかない。交代テンソルについて調べるつもりが微分形式に至ってしまった。
2022/05/29	計量を考える部分で停滞している。参考としている文献ではnベクトルに拡張するのは容易であるとだけ書かれているが、実際やってみるとそれほど容易ではないことが分かった。さっと呼んでいるときは、それで理解できたような気がしても実際できないことも多く、苦労する点である。次は、双対の概念を導入してこの部分は一区切りとしたい。そのあと外微分、マクスウェル方程式と進む予定である。
2022/05/30	nベクトルに一般化するかなり複雑で分かりにくくなってきた。行列式を要素とする行列を考える必要が出てきてしまった。これは正しいのであろうか？形式的な形を整えるのはうまく記号をせってしないと難しいようだ。実際にこれをもとに計算することも困難である。
2022/05/31	双対関係を表す星記号は4種類の意味があるようである。この点がまた混乱しそうな感じがする。文献によってもどの意味で星記号を使っているのかの注意が必要である。かなり長くなっているので、ミスの修正にも時間がかかりそうである。
2022/06/01	pdfまでは出来たがHTML化は明日以降とする。いろいろと調べていると外積代数についてもう少し勉強すればnベクトルについての演算がより分かりやすくなりそうである。また機会を見て考えてみたい。今回は、今の路線で次に進むことにする。
2022/06/02	HTML化を行った。この部分はひとまずこれで完了とする。次は、外微分についてまとめる。
2022/06/03	余因子展開を用いた行列式の表現に関する証明を追加した。余因子展開を認めれば、行列式の定義とレビ-チビタ記号による表現が一致することを確認できた。レビ-チビタ記号と行列式とはいろいろと面白い関係性があるようだ。
2022/06/04	微分形式で考えると極性ベクトルと軸性ベクトルの違いが分かりやすくなるので、この点についてまとめることにした。軸性ベクトルを2ベクトルの双対ベクトルと考えると違いがはっきりとして以前に比べると理解しやすくなった気がする。3次元空間では、2ベクトル、1ベクトルが見かけ上区別できないのが混乱する原因である。擬スカラーもこの線で考えると分かりやすい。
2022/06/06	擬スカラーの説明の追加とミスの修正を行った。これで軸性ベクトルと擬スカラーの意味がよく分かるようになった。擬テンソルという概念もあるのでこれについても機会があればまとめておきたい。次は、外微分であるが、2通りの定義の仕方があるようで、どちらを採用するかで迷ってします。
2022/06/08	外微分についてまとめている。外微分の定義をどうするかで迷ってしまったが、公理論的な定義を採用することにした。このあとベクトル解析との関係を追加しておきたい。それが終わればいよいよ本論のマクスウェル方程式である。ゴールまでまだしばらくかかりそうである。
2022/06/09	外微分とベクトル解析の演算との関係の説明を追加した。関数列や関数列級数のミスの修正とHTML化を行った。いままで分かりにくかったベクトル解析と微分形式との関係が今回整理できたので良かった。次はいよいよマクスウェル方程式である。マクスウェル方程式ではミンコフスキー計量を考える点が少し難しくなる。
2022/06/10	マクスウェル方程式を微分形式により表現することができるようになった。このように微分形式であらわすと電磁気学は4次元時空で考えるとスッキリと整理できることがよく分かった。3次元空間のベクトル解析を使っていたために分かりにくくなっている部分が大かっあのかもしれない。あとは双対関係を整理しておきたい。
2022/06/11	目標としていたマクスウェル方程式の微分形式による表現までは辿り着いた。最終的には1つの式でマクスウェル方程式を表現できるのは非常に面白い。ミンコフスキー4元時空の構造と深くかかわっているのであろう。明日は、内容をもう少し整理してまとめておきたい。
2022/06/12	ミスの修正とHTML化を行った。最後の微分形式の積分については別途考える必要がありそうである。今回はこの程度にとどめておくのがいいだろう。微分形式を数学的にきっちりと理解するのはかなり難しそうである。多様体や位相についての理解が必要になる。
2022/09/17	久しぶりの更新となった。テンソル積についてまとまようとしていたら、いろいろと復習しなければならないことが多くありまとめることができなかった。しばらく、集合の考え方についてまとめることにした。無限集合の考え方をいままで理解できていなかったので、ここで理解していきたいと思っている。集合論はなかなか難しい。まさに数学の基礎である。
2022/09/19	いままで曖昧であった集合族の考え方についてまとめている。単に添え字の付いた集合と単純に考えていたけれども、もう少し深い意味があることがわかった。無限集合を考える場合には必要不可欠の概念である。また、一般の直積を考える際にも必要となる。混乱するのは集合族と集合系のことがの使い方である。文献によっては使い方が逆になっていので非常に分かりにくい。どうして使い方が統一されていないのか不思議である。
2022/09/20	やっと集合族の考え方をまとめることができた。言葉の混乱もあり時間がかかってしまった。数学の文章を書くのは慣れないと難しい。ドイツ文字などが出てくるとそれだけでも難しく感じてしまう。文章中に記号が多いのも面倒である。あとはHTML化したら、直積についてまとめたい。ここで選択公理が登場する。これがまた曲者である。集合論の一つの山場だ。この選択公理を認めれば無限次元ベクトル空間において基底が存在することが示される。これを示すことが一つの目標である。
2022/09/21	集合系と集合族のHTML化が完了した。久しぶりに作業をしたので手間取ってしまった。明日は直積集合についてまとめたい。
2022/09/24	無限集合にも対応できるように直積の定義を一般化した。直積が写像の集合として一般化されたことは興味深い。いままで考えたこともなかったことである。また、このことが選択公理と深くかかわっていることも面白い。大学1年の数学の内容であるが、数学の基礎をそれほど深く考えていなかったので新鮮な感じがする。ただし理解するのは難しい。
2022/09/25	選択公理の簡単な説明までまとめることができた。選択公理を述べるためには一般化された直積の考え方が必要となる。物理などでの応用では順序対と考えておけば十分であるが、選択公理まで考えると一般化しておく必要があるようだ。また、集合系と集合族の説明で写像として使った記号と空集合の記号が同じものを使ってしまったので修正する必要があることが判明した。
2022/09/25	集合系と集合族で写像として使った記号と空集合の記号が同じであり混乱するので写像の記号を$f$に変更した。
2022/09/26	用語が統一できていない部分があったので修正した。
2022/09/27	選択公理の同値な表現についてまとめている。証明があまりスッキリとしない。数学の証明に慣れていないためかもしれないが、これで証明できているのか疑問に感じる点もある。もう少し整理してみる必要がありそうだ。基礎的、抽象的な数学の証明は難しい。
2022/09/28	選択公理の同値な表現についてかなりの修正を加えた。定理の意味を理解するのがかなり難しい。正しく解釈できているかどうか不安な点もある。また、久しぶりに図を描いたので疲れてしまった。数学の図を手書きするようにPCで描くのは難しい。
2022/10/02	理解できる範囲で選択公理についてまとめた。同値な命題の証明も言われてみればそうかもしれないという感じである。何となくあいまいな感じもするので、数学の証明は難しい。数学の基礎的な所に慣れていないのが原因だろう。当たり前に思えるようなことを証明するのはとても難しい。
2022/10/03	同値関係についてまとめている。同値関係を定義する際の反射律、対称律、推移律は当たり前のことだと思っていたが、よく考えると難しい概念である。特に、推移律には注意が必要であることがよく分かった。今後は注意しなければならない。数学の基礎的場部分は奥が深い。
2022/10/04	反射律、対称律、推移律について詳しく調べた。今更ながら、そうだったのかと思う点が多くあった。今までよく理解できていないことがよく分かった。同値類、商集合までききたので、後は例題を追加していきたい。
2022/10/05	反射律、対称律、推移律を用いた証明の仕方がよく分かった。参考としている「証明の楽しみ」は随分以前い購入し読むことなく眠っていたのだが、ここにきて非常に役立っている。いままであまり気にしなかった事柄が詳しく説明されていて買っておいて良かったと思う。また例題が続くので完成までしばらく時間がかかりそうである。
2022/10/07	かなりまとまってきたのであるが、まだミスがあるので修正してHTML化を行いたい。
2022/10/08	TexのコマンドがMathJaxではそのまま使えないことがあるので、対応するコマンドを見つけ出すのに苦労した。これで同値関係について一通りのまとめが終わった。次は、合同式について考えてみたい。
2022/10/09	ミスの修正と関係を表す有向グラフの追加を行った。
2022/10/10	合同式の同値関係についてまとめた。合同式はこれまであまり考えたことがなかったので、なるほどと思うことが多かった。同値関係の観点から詳しく見ることはなかったので、面白く感じた。もう少し例を追加したまとめたい。
2022/10/11	HTML化まで完了した。同値関係の証明は各自の演習問題とするなどとして省略されている場合が多いので、今回は丁寧に繰り返し説明した。同じパターンの証明であるので、慣れると簡単であるが、はじめはどうしていいのかわからないので、繰り返し証明方法を練習すことが必要と感じた。今回は、これまであまり注目してこなかった点に焦点を当てている。次は、数学的帰納法について考えたい。
2022/10/12	合同式に関係して、剰余類について簡単にまとめた。剰余類における和と積の定義を改めて確認できた。
2022/10/13	整列定理を認めて数学的帰納法の原理を考えている。いままで深く考えたことがなかったので興味深い。逆に、数学的帰納法の原理を公理として認めて、整列定理を考える方法もあるので、また混乱しそうでもある。公理として何を認めるかがややこしくなる原因である。
2022/10/14	数学的帰納法による証明の例を追加した。いままでの証明方法は簡略化したバージョンを適用していたことが判明した。詳しく考えると数学的帰納法の意味もよく分かる。曖昧だった点がはっきりしてきたのは良かった。
2022/10/15	帰納法の強形式を追加した。強形式の考え方はあまり意識したことがなかった。知らず知らずのうちに使っていた可能性もある。一通りまとめたので、チェックを行った後でHTML化を行いたい。
2022/10/16	ミスの修正を行い、HTML化した。次は、数学的帰納法の例題をもう少し追加する予定である。これが終われば集合論に進みたい。選択公理とツォルンの補題との同値性を証明できればと考えている。これができれば無限次元ベクトル空間の基底の存在を示すことができる。これが一つの山場となる。
2022/10/17	数学的帰納法の使用例を追加している。簡単なものと少し難しいものがある。改めて見直すと勉強になる。
2022/10/18	数学的帰納法の使用例の追加が完了した。高校以来深く考えることなく使ってきた数学的帰納法の意味がよく分かった。整列定理と関係しているとは驚いた。この意味では選択公理と同値ともいえるのだろうかと疑問が湧いてきた。基礎的な部分は奥が深くて理解するのが難しい。
2022/10/19	微積分での関数とは異なる観点から考察してみるのは興味深い。簡単な内容であるがまとめておくと役に立ちそうである。
2022/10/20	全射関数であることの証明方法がよくわかった。いままで抜けていた部分を補えるので勉強になる。
2022/10/21	関数の合成まで完了した。次は、逆関数をまとめて、その後、恒等関数の例を挙げて終わりとなる。もう少し時間がかかりそうである。いままでとは異なる観点から関数を見ているので興味深い。
2022/10/22	関係に対する逆関係を考えて、その逆関係が関数であるかどうかを考えるというのはいままで知らなかった考え方である。逆関数をこのように捉えたことはなかったので、非常に面白く感じた。単に代数方程式を逆に解いている以上の意味があったことがよく分かった。簡単なことでも見方を変えると深い意味が見えてくる。数学を計算道具と考えていたのはよくなかった。
2022/10/23	ずいぶんと長くなってしまった。ミスの修正も行ったので、内容はこれで完了した。後は図を作成して、HTML化を行いたい。
2022/10/24	再びミスの修正を行い、HTML化した。かなり長くなったので、まだミスが残っているかもしれない。とりあえずこれれひと段落とする。次は、集合の演算についてまとめておきたい。
2022/10/25	集合の演算についてまとめ始めている。ほぼ自明なことが多いので、かえって証明を記述しようとすると困ってしまう部分も多い。また関係式の数も多いので、一つ一つ証明するのに時間がかかりそうである。一度きっちりとやっておきたかったので、この機会にやってみることにした。
2022/10/26	基本的な演算に対する証明は完了した。ほとんど自明なことばかりなので、これで証明となっているかどうか心配な点もある。集合論におけるド・モルガンの法則の法則は、結局は論理におけるド・モルガンの法則と同じものであることも判明した。まだ、各種の関係式があるのだが、これを追加するとまたカなる長くなりそうである。
2022/10/27	どうすれば証明を簡潔にできるかで悩んだします。統一的にできればいいのだけれども、それだとうまくいかないこともある。少しずつ進めていくしかない。
2022/10/28	関係式を追加していたらずいぶんと長くなってしまった。あともう少しだけ追加して終わりとしたい。その後、全体の統一を図りたい。
2022/10/29	無限個の同じ集合の和について巾等律が成り立つことの証明をどうすればいいのか困っている。有限個の証明で無限大の極限を散るだけでいいのか？非可算この和に対しても正しいのかと疑問がわいてくる。無限と絡むと当たり前のことも当たり前ではなくなる場合があるので気を付けねばならない。
2022/10/30	空集合に関連する証明を修正した。これらの証明が自明として省略されていることが多いので、この証明で正しいかどうか心配もある。可能な限り論理的に証明しているつもりであるが、これでいいかどうか・・・。このあたりを詳しく書いた文献はまだ見つかっていない。
2022/10/31	空集合に関連した証明の論理が不明確なところがあったので修正した。見直しをしているといろいろと問題点が見えてくる。証明は正しく行うのは難しいものである。
2022/11/01	部分集合の定義を追加した。見直すとどんどん修正したくなるので、今回はこれでよしする。あとはHTHL化を行う。かなり長くなってしまったので、時間がかかりそうである。
2022/11/02	やっとHTML化までできた。当初の予想よりもかなり長くなった。練習のため省略すべき部分も繰り返し書いたので長くなった。集合についてこれほど真剣に考えたのははじめてである。今までのように計算するだけならばここまで理解する必要はなかった。一度やっておかなければと思っていたことができてよかった。
2022/11/04	写像の関係についてまとめ始めた。逆像と逆写像で混乱しやすいので、別の記号で説明する方法を用いて考えていく。あまりなじみのない記法だけれどもご利益があればいいと思う。この分野では記号や定義が人によって異なるので、混乱しやすい。
2022/11/05	集合に関する証明が続いている。証明のパターンが徐々に分かってきたのであるが、時間がかかってします。証明問題に慣れていないせいであろう。いままでこのような数学の証明に取り組んでこなかったので仕方がないことかもしれない。ここでしっかり練習をしておきたい。
2022/11/06	写像について証明すべき事柄が次々とでてきて、またかなり長くなってきた。合成写像に関して証明を終えたら終了としたい。まだしばらくかかりそうである。いままで知りたかった関係はこれでほぼ証明できることになる。
2022/11/07	集合に関する証明は、出来そうでできないのでイライラするところがある。また、同じことの繰り返しが多いので退屈でもあるが、一度やっておくことは必要であろう。少しずつ分かってきたのであるが、まだ自分では完全に証明できない公式も多い。
2022/11/08	節番号の修正とべき集合との関係の追加を行った。
2022/11/09	これまでの結果をもとに問題に取り掛かっているが、一筋縄ではいかない問題ばかりである。どこから手を付けていいのか分からない問題が多い。正しく証明できているのかと疑問も残る。ヒントを参考にまとめるように努める。うまくまとまるか分からない。
2022/11/10	1問だけでも時間がかかっる。なかなか進まない。今日は忙しいのでここまでとする。
2022/11/12	感覚的には成り立つことは分かっても、それを論理的に示すことはかなり難しい。かなりの訓練をしないときっちりとした証明はできない。仮に出来たと思っても、正しく証明できているのかがよく分からない。この点が証明問題の難しいところだと思う。答はほとんど省略されているので、確かめることができないのが、不安な点である。
2022/11/13	言いたいことをうまく表現することが難しいので、証明は難しく感じる。必要な条件が抜けていたりしてなかなか完全な証明を書くことができない。かなりの慣れが必要である。
2022/11/14	問題9,10の逆向きの証明がかなり難しい。まだ十分に納得のいかない部分もある。時間をおいてもう一度考えてみたい。スッキリしない点があり、もやもやしている。
2022/11/15	切りがないので問題はこのあたりで終わりとする。見直しを行ってHTML化を行いたい。入門の問題として難しすぎるような気もする。初見で証明を行うのは非常に難しい。慣れれば何とかなるのかもしれないが・・・。
2022/11/16	HTML化を行った。ミスが見つかればまた修正する。
2022/11/19	写像に関して説明できていなかった重要な概念についてのまとめを行っている。あともう少し見直して終了にしたい。
2022/11/20	集合論の基礎的な部分はおおよそカバーできたと思われる。いままではっきり理解できていなかったことが整理できた感じである。集合族からはじまりいろいろと勉強になった。
2022/11/21	「同値関係」の表記の一部にミスがあったので修正した。また、写像の分解についてまとめ始めた。これはテンソル積を考える際にも必要となる概念である。ここでよく理解しておきたい。
2022/11/22	写像の分解という概念について理解できた気がする。写像には、その写像に付随する全単射が必ず存在するということを述べているようである。このあたりの考え方は、普通ではできないものだ。慣れていかないと駄目である。
2022/11/23	HTML化を完了した。これで写像に関する基本的な部分はカバー出来たのではないだろうか？先に進むと不足が見えてくるかもしれない。とりあえずここで完了とする。
2022/11/24	有限集合の元の個数についての性質をまとめている。自明と思われることが多いので、証明するのがかえって難しい感じがする。当たり前すぎて、論理的にどのように示せばいいのか迷ってします。
2022/11/25	空集合まで含めて写像を考えるような場合もあり、またもや混乱しがちである。文献によってどの範囲まで考えるかが異なっているので、その点を了解するのが難しい。今回もいろいろと証明すべきことが多くてうんざりしてします。数学は大変である。
2022/11/26	ミスの修正とHTML化を行った。次は、ベルンシュテインの定理に進みたい。ツォルンの補題まではまだまだ道は遠い。
2022/11/27	表示ミスが見つかったので修正した。ベルンシュテインの定理についてまとめている。いよいよ集合論の核心に近づきつつある感じがする。無限の概念を正しく理解することが大切になってくる。おもしろいところであるが、徐々に難しくなってくる。証明がますます大変になりそうだ。
2022/11/28	定理の証明に必要となる全単射をどのようにして思いついたのか疑問である。自分ではあのような写像をとても思いつきそうにない。言われれば分かるのだが、自分で考えられるレベルではない。
2022/11/29	無限の概念がいたるところに現れてきている。本格的な集合論という感じがしてきた。ここからは未知の領域であるのでどこまで進めるかである。集合論を本格的には教わったことがないので、どこまで理解できるかの挑戦となる。
2022/11/30	ミスの修正とHTML化を行った。次に進む前に演習を行いたい。またしばらく時間がかかりそうである。問題は難しくて簡単に出来そうにない。
2022/12/02	集合の濃度に関連する問題の証明に取り組んでいるが、うまく証明することは難しい。説明が無駄に長くなってしまう。簡潔にすると後で何を言っているのか分からなくなることが多いので、だらだらと書いている。
2022/12/03	一通り証明を完了したが、かなり分かりにくい箇所もあるので、もう一度整理してみる必要がありそうだ。
2022/12/04	最後の問題は、ベルンシュテインの定理のあとで考えた方がわかりやすいので、そちらに移した。そのためベルンシュテインの定理の改訂を行った。全単射 $F$ の具体的な例を示すことができて分かりやすくなった気がする。問題のセクションもスッキリした。
2022/12/05	参考文献のミスを修正した。
2022/12/06	可算集合についてまとめている。いままでの知識をすべて活用しなければならないので、なかなか骨が折れる。以前に定理などを覚えていないことが多いので困ってしまう。常に見直しながらの前進となる。
2022/12/07	「集合の濃度」において【定義2'】を追加した。後の証明でこの定義を用いることが多いことがわかった。同値な定義があり、その場その場で都合のいい定義が用いられるので混乱しやすい。
2022/12/08	可算集合に関するまとめは完了した。いままで直感的にそうだろうと思っていたことを論理的に示す方法がよく分かった。ここでも選択公理が重要となっている。次は、非可算集合について考える。
2022/12/09	非可算集合についてまとめた。証明方法はなかなか思いつきそうにない方法である。徐々に慣れていくしかないのだろう。どうしてこのようなことが思いつくのか不思議でならない。
2022/12/10	ミスの修正と若干の変更を行って、HTML化した。次は、また演習に取り掛かりたい。時間がかかりそうである。
2022/12/11	証明問題に取り組んでいるが、やはり証明は難しい。どこから手を付けていいのか見当がつかないことが多い。また、出来たとしても論理的にスッキリしていない気もする。計算問題と違って難しいものである。
2022/12/12	「可算集合とその性質」に誤植が見つかったので修正した。
2022/12/13	証明問題はなかなか難しい。どうもうまく説明できない点が残ってしまう。まだまだ練習が必要である。ポイントをしっかり押さえることが大切だ。
2022/12/17	集合の濃度の和と積について証明を行っている。当たり前のように思えることなのであるが、いざ証明するとなると手間がかかる。練習のため証明を行っている。
2022/12/18	ほぼ自明のように思われるが、用いた射族の単射性、全単射性の証明を（注）として追加した。どこまで詳しく証明すればいいのかは微秒なところである。
2022/12/19	ミスの修正を行い、HTML化した。同じような証明を繰り返しているとつい勘違いしてしまう。次は、巾集合の濃度について考える。
2022/12/20	濃度の巾についての性質を証明しているが、かなり技巧的である。このような方法はとても思いつかない。どうしてこのような方法を思いついたのか不思議でならない。
2022/12/21	集合の対等を示すために全単射を以下に構成するかが難しい点である。これは慣れないと出来そうにない。全く思いつかない。いろいろなパターンで経験を積んでいくしかないのであろう。
2022/12/22	証明すべきことが次々と現れてくるのでくたびれてしまう。単調な内容が続いている。ここは1つ1つ証明を積み重ねていくしか方法はない。以前に比べると、証明のパターンのようなものが分かり始めた気もしている。ここは我慢が必要な時だ。
2022/12/23	自明とか読者の演習とすると記されている部分を証明するのは気が重い。正しく証明できているかが分からないので不安である。自分で問題点を見つけ出すのは困難な作業である。
2022/12/24	ミスの修正とHTML化を行った。次に、演習問題を解いてこの部分は終了となる。いよいよツォルンの補題へと進むことになる。また、演習にしばらく時間がかかりそうである。
2022/12/25	「濃度の巾」の【定理1】にミスがあったので修正した。細かいミスはいろいろとまだありそうである。
2022/12/26	演習問題を一通り完了した。この証明で本当にいいのかと不安な点も多い。ヒントを見ながら証明しているが、自力での証明は難しい。もう一度皆をして、次に進みたい。
2022/12/27	ミスを修正しHTMML化を行った。次からがいよいよ本丸である。攻略のためには、まだしばらく準備が必要となる。来年はツォルンの補題を攻略したい。
2022/12/28	集合論ばかりやっていると気分が沈むので、今日は新しいソフトを見つけたのでそれを利用して、球面三角形について考えた。GeoGebraという幾何学ソフトを使うと簡単に空間図形を描くことができる。球面三角形を描くのは今まで大変であったが、かなり簡単に作図することができることがわかった。さらに、作図した図の各点を自由に動かすこともできるので、いろいろな球面三角形を描くことができて、内角の和や正弦定理についても確認することができる。非常に面白いソフトである。これから図形を描く時には利用していきたい。
2022/12/31	順序関係についてまとめている。しばらくツォルンの補題のための準備が続くことになる。ここからも証明の連続であるが、来年はゴールまで辿り着きたいものである。
2023/01/01	順序集合に関して様々な定義が必要になり、それらの間の関係が複雑になってきた。1つ1つは単純であるが、絡み合ってくると混乱しやすくなる。自明と思われることについても証明を与えているが、これが証明になっているかどうか疑問な点もある。答がないので確認する方法がない。
2023/01/02	順序集合に関するこの部分は長くなりそうである。このあと必要となることの定義がされているので、きっちりと理解することが大切である。かなり混乱しつつある。まとめを別途行う必要があるかもしれない。
2023/01/03	かなり証明がややこしくなってきた。直感的にそうだろうと思うことを証明するのは難しい。「明らか」とされていることまで証明しようとすることは蛇足かもしれないが時間がかかってします。考え方を1つ1つ整理しながら進むしかない。ここは「ツォルンの補題」の証明に必要となる道具を準備しているような段階である。
2023/01/04	順序集合を一通り完了したが、かなり長くなっているので、ミスもかなり多いと思われる。これからミスの修正に取り掛かりたい。定義が多くてその意味を理解するのに苦労した。
2023/01/05	見直してミスの修正と内容の変更を行った。これからHTML化に取り掛かるが、長いので少し大変である。
2023/01/06	やっと順序集合を完了した。言葉による説明ばかりだったので、ハッセ図による説明を次にしておきたい。視覚的に確認できることも重要である。
2023/01/08	ハッセ図によって最大元、極大元、上限などの概念を視覚的に示そうと考えている。図の作成にGeoGebraを利用しているので時間がかかる。使用法を十分に理解していないので、手探りで作業を行っている。確かにきれいな図が描ける。今後とも活用できるようにしたいソフトである。フリーソフトでここまでできるとは驚きである。
2023/01/09	ハッセ図を使って、例を考えていたら上界・下界の存在しない部分集合があることがわかった。有限集合では必ずどちらかがあるのかなと漠然と考えていたが、そのようなことはないことが判明して驚いた。思い込みの恐ろしいところである。
2023/01/10	整除関係による順序集合においては、上限、下限がそれぞれ最小公倍数、最大公約数と関係していることが分かったのでこの部分を追加した。いろいろと面白い関係性があるものだと感じた。
2023/01/11	順序集合の演習問題を行っているが、上手くまとめることができていない。これで証明となっているか疑問が残る。解答がないので確認の方法がない。困ったことである。この部分は注意が必要である。
2023/01/13	証明に苦労している。はたして証明できているのかどうか疑わしい箇所があり、確信が持てない。また、後日見直すしかないだろう。
2023/01/14	何とか解答を書いてみたが、矛盾点があるような気がするので、もう一度よく見直す必要がありそうだ。簡潔に説明できていない箇所も多いが、理解のために必要と思い残している。簡潔にまとめると、後日見直したときに分からなくなることが多いので、くどくどと書いて思考過程を残しておく。
2023/01/15	演習問題を終了したので、次はいよいよ整列集合である。徐々にツォルンの補題に近づいている。しかし、まだ道は険しいので我慢が続きそうである。このあたりからが集合論の一つの山場である。
2023/01/16	整列集合にまで進んできた。目標にかなり近づいてきた感じがする。Texで切片の記号をどのように入力するかなど内容と関係のないところで時間を費やしている。そのためなかなか進まない。
2023/01/17	整列集合になるとかなり条件がきつくなっているので、いろいろな性質があることがわかった。単なるものの集まりとしての集合からずいぶんと変わってしまったような感じである。すべての集合がこのような性質をもてば、扱いやすいのかもしれない。
2023/01/18	内容の一部修正とHTML化を行った。つぎは比較定理である。だんだんと目標に近づいている。ツォルンの補題を証明するのにこれだけの準備が必要であるとは、大変なことである。集合を大学1年で学んでいたとしても理解できない内容だったと思う。いまは何となく集合の考え方の重要性が分かっているので、時間をかけることができている。ここからがまだまだ難所が続く。
2023/01/19	比較定理の証明を行っているが、これもとても思いつきそうにない証明方法である。いったい誰がこんな方法を思いついたのだろうかとつくづく思う。証明を読んだ後でも自力ではとてもできそうにない。非常に難しい内容である。
2023/01/20	比較定理の証明まで辿り着いたが、切片の性質をフル活用しなければならないので、話がかなり複雑になっている。一見しただけではこれで証明できたのかどうかよく分からない感じがする。比較定理は内容は簡単だが、証明は非常に難しい。
2023/01/21	ミスを修正しMTHL化した。これで証明は完了したが、自然数以外の整列集合をイメージするのはなかなか難しい。いろいろな修吾の概念が登場してきたので、それらを一度整理しておく必要がありそうだ。
2023/01/22	整列集合の例を追加した。具体的な例があるとイメージしやすくなる。
2023/01/23	蛇足であるが、実数（整列集合でない）における切片について補足的に記述を追加した。整列集合における切片との違いがよく分かるようになった。
2023/01/24	整列集合に関する問題に取り組んでいるが、相変わらず証明は難しい。なかなか着眼点が思いつかない。どこから手を付ければいいかが分からない問題が多い。いつも苦労する。
2023/01/25	問題を解くのに必要となったので、以前の問題を見直しておたら分かりにくかったので、図を追加してイメージしやすくした。文章を読んだだけではすぐには理解できなかった。そのときは理解できても後になると分からないことも多いので、できるだけ詳しく書いておくことにしている。そのため説明が簡潔でない点も多いが、それはそれでよい。
2023/01/26	ミスの修正およびHTML化を行った。次はいよいよツォルンの補題である。ここが今回の一つの目標点である。あと一歩なので頑張りたい。
2023/01/27	ツォルンの補題の前に準備としてまた補題の証明が必要となった。この補題も一見しただけでは何を言いたいのかよく分からない内容である。どうしてこのようなことが思いつくのか不思議でならない。集合論は単なる計算ではないのでなかなか難しい。この後も、2つの補題の長い証明が続くので、一旦ここで切ることにする。
2023/01/29	ミスを修正し、HTML化を行った。まだ、2の補題を証明する必要がある。この補題が、実はツォルンの補題とほほ同じことになる。また、一歩ずつ進むことになる。
2023/01/31	いよいよツォルンの補題の証明に近づいているが、その前の補題でようわからない点が出てきて止まっている。省略されているのでこの部分を埋めるのが一苦労である。
2023/02/01	証明が込み入っていて上手く整理できない。証明の道筋を明確にしておく必要がありそうだ。また、今回の証明とは異なる証明方法もあるようだ。どちらの証明が分かりやすいのであろうか？
2023/02/05	最後はあっけなく終わるのであるが、途中、証明の中に証明があったりして非常に分かりにくくなっている。もう少し筋道を整理してスッキリさせたいと考えている。この証明は非常に難しいのでまとめるのが一苦労である。
2023/02/06	内容の修正を行い、HTML化した。補題の順番を入れ替えたので少しは流れがよくなったような気もする。この証明は難しい。次は、ツォルンの補題と同値な表現であるがこれもまた難しそうである。
2023/02/07	テューキーの補題まで辿り着いた。ここまで非常に長い道のりであった。証明方法はきわめて難しく理解するのがやっとである。この補題によって、目標であった無限次元ベクトル空間の基底の存在が証明できることになる。目標まであと少しなので頑張りたい。
2023/02/08	テューキーの補題を完了した。関係性が分かりにくい点があったのでハッセ図の例を追加した。何となく証明できているような気がするのだが、まだ雲をつかむような感じである。このような考え方に慣れていないせいであろう。抽象的な考え方を活用できるようになりたいものだ。
2023/02/10	ツォルンの補題の変形バージョンの命題の証明をおこなった。確かに正しそうなのだけれども具体的ではないのであまり実感がわかない。抽象的な思考にまだまだ慣れていないせいであろう。あともう少し追加して、短いがこの部分を完成させたい。
2023/02/11	ミスプリントがあったので修正した。ツォルンの補題の変形まで完了したので、次は、整列定理へと進む。相変わらず証明は難しい。正解がないので正しく証明できてるのかどうかの判断が付かない。悩ましい点である。また、整列集合における補題で脚注の追加を行った。
2023/02/12	整列定理の証明をまとめているが、言葉ばかりの説明でイメージが掴みにくい。もう少し状況を上手く整理出来ないものかと考えている。状況を図で表すのもなかなか難しい。工夫が必要なところである。ここまで来て、集合論の一つの山場まで辿り着いた。このあたりは何度も見直さなければ納得いかないであろう。もう少し考えたい。
2023/02/13	整列定理の説明のための図を追加した。集合と集合族の関係が少しは分かりやすくなった気もする。もう一度見直して完了としたい。また、「集合の濃度」にミスを見つけたので修正した。
2023/02/14	整列定理を完了した。証明は言われてみればそうかもしれないが、納得するのは時間がかかりそうである。具体的でないのが難しい。次は、有限の性質をどのように使うのかを見ていきたい。また、テューキーの補題に少し説明を追加した。
2023/02/15	有限的な性質（条件）が分かりにくかったので例をあげてまとめている。ある意味では自明な性質であるが、定義に当てはめて説明しようとすると手間がかかる。教科書ではこれは有限的な性質であると一言書かれているだけで、なぜ有限的であるのか説明がないので困ってしまう。今回の説明で正しいのかどうか確かめる方法がない。
2023/02/16	有限的な性質（条件）の内容を修正しHTML化した。考えれば当たり前のことであるのだが、上手く説明するとなると難しい。次は、ツォルンの補題と関連した問題を考えたい。演習によってツォルンの補題の意味を理解していきたい。
2023/02/17	ツォルンの補題の応用問題をまとめている。ツォルンの補題（テューキーの補題）を用いることでベクトル空間における基底の存在を示すことができた。これで1つの目標が達成されたことになる。もうしゅこし演習を積んで、ツォルンの補題の意味を考えていきたい。
2023/02/18	ツォルンの補題の応用問題の修正とHTML化を完了した。帰納的順序集合であることの証明で上限の存在を示す部分に少しあいまいな点が残る。もう少し考える必要がありそうだ。
2023/02/19	問題4のEについての説明を修正した。これで上限の意味が分かりやすくなったと思う。しばらく、ツォルンの補題の応用問題が続くことになる。このあたりはいままで全く理解できていなかったので、ここで理解しておきたい。
2023/02/20	次に進む前に、証明においてしばしば用いられる集合系における和集合についてまとめた。証明では、直ちに証明できるとか自明であるとされていてほとんど説明されていないので、ここで説明することにした。この考え方で正しいかどうかは分からない。一応、納得できると思っている。
2023/02/21	以前残されていた濃度に関する関係式をツォルンの補題による証明を行った。証明の流れはだんだんと分かってきたのであるが、実際これをやるとなると非常に困難である。自分ではとてもでき老にない証明である。証明の手順を含めて、もう一度見直しが必要である。
2023/02/22	対等関係の根拠にミスがあったので修正した。もう一度確認後にHTML化を行いたい。連続濃度の場合との区別が明確にできていないことが今回のミスの原因であった。
2023/02/23	系1でミスがあったので修正を行った。等号が付くか付かないかで少し混乱した。修正後にHTML化を行った。次は、群論への応用となる。
2023/02/24	これまでのツォルンの補題を用いた証明における証明パターンを簡単にまとめた。おおまかにはこの線に沿って証明が進むことになる。各段階での証明は問題に応じて工夫が必要となる。基本的な流れはこれでいいと考えている。
2023/02/25	群論における定理を証明するために群の生成系について理解する必要があった。このため群についての復習から始めた。生成系の概念は完全に忘れていた。ベクトル空間の基底のようなものと考えればいいのかもしれない。
2023/02/26	部分群とすべきところを部分集合と書いているとことが何ヵ所かあったので修正した。また、最後に例を追加したが、この例が正しいかどうか心配な点もある。もう一度確認の後、HTML化を行いたい。
2023/02/27	写像の対応関係を表示できるようにしようとしたら時間がかかってしまった。特に、MathJaxで正しく表示するのに苦労した。ver2ではだめでver3にする必要があることがわかった。また、コードをきれいに表示する方法も調べて、やっとよく見るようなコードの表示ができるようになった。これまでコードを表示していたHTMLの修正を行った。
2023/02/28	やっと群論に関する部分を完了することができた。表示を修正しようとしてずいぶん時間がかかってしまった。MathJaxのバージョンアップを行ったが、今のところ問題なく使えている。いろいろよきれいに表示できるようになったので良かった。
2023/03/01	ベクトル空間を考える際の体についての説明で、可換群の概念が必要となるので、昨日の内容に可換群の説明を追加した。体について説明しようとするとなかなか手間がかかる。「群、環、体」については別途説明する方がよさそうである。
2023/03/02	ベクトル空間を一般の体に対して定義しようとしたら記号が複雑になってしまった。しかし、体を実数とする場合に見落としていた細かな点に気が付いた。当たり前と思っていたことが当たり前ではなかった。いままで気づかずに使っていたことに驚いた。
2023/03/03	復習をかねてベクトル空間の公理からまとめ始めたら大変時間がかかってしまった。基底の証明までしばらく時間がかかりそうだ。全体を矛盾なくまとまるのは大変な作業である。以前書いたことと矛盾することを書いている可能性もあるので注意が必要である。
2023/03/04	とりあえず基底の存在の証明までを書き上げた。まだ、ミスの修正や説明に追加を行ってからHTML化を行いたい。今回は本題よりも準備に手間がかかった。無限次元空間における基底の意味を理解することが大切であった。
2023/03/05	これで集合論を始める際の目標であった、無限次元ベクトル空間における基底の存在を証明することができた。非常に長い道のりであった。集合について多くのことを学んだ。まだ、順序数が残されているので、これを完了して集合論を終わりとしたい。まだしばらくは時間がかかりそうである。集合の次はいよいよ位相である。楽しみにしておこう。
2023/03/06	書店で19×19まで暗算で計算できる“おみあげ算”を紹介した本があったので、それを読んでいるとなるほどと感心したのでまとめておいた。少し見方を変えるだけで計算が簡単になるのは面白い。一方、順序数はその概念がかなり難しいのでまとめるのに時間がかかりそうである。短くまとめられていたので、簡単かと思っていたのだが、そうではなかった。これまでの内容とは一味違うようである。
2023/03/12	集合ではないものの集まりとしてクラスという概念があることがわかり、それについて調べていたら時間がかかった。これを考えだすと公理論的集合論についても考える必要が感じられてきたので、収集が付かなくなっている。公理論的集合論を扱うためには一階述語論理なるものも必要で、これがまたとんでもなくややこしいことになっている。ここへ向かうと後戻りできそうにないので、今回はこの程度でまとめて順序数へと進むことにした。集合論の基礎に論理学が存在している。根本まで遡ろうとするととても奥が深い。
2023/03/13	公理的集合論に関する部分は少しだけ触れて今回は深入りしないこととした。次は、順序数へ進みたい。
2023/03/14	順序数の概念を整理している。新しい言葉がいろいろと出てくるので整理して理解しておく必要がある。少しづつ進んでいきたい。順序数を完了するまでまだ品楽かかりそうである。ここが終われば、素朴集合論を一通り完了したことになる。あと少し頑張りたい。
2023/03/15	順序数の大小関係までまとめることにした。また少し長くなってきた。いままでの知識をフルに活用する必要がある。当たり前に感じることを定義に戻って考えるのは大変である。
2023/03/16	順序数の大小関係まで完了した。次は、順序数の和と積であるが、これもきっちりとやろうとするとかなり面倒である。まずは、和をしっかりと定義して考えていきたい。順序数終了まではかなりの時間が必要である。
2023/03/18	順序数の和を定義するのに手こずっている。整列集合を順に並べるだけのことであるのだけれども、そのことをきっちりと定義しようとするとなかなか難しい。簡単なことを定義に基づいて説明するのは大変である。この後、まとめることになる和の性質も一見当たり前に思えるので証明するのに一苦労である。積や冪になるとさらに大変そうである。
2023/03/19	和についての関係式を順番に証明している。証明は演習問題とすると書かれていて証明が載っていないので、この証明が正しいかどうか確認できない。当たり前に思えるようなことを証明するのは非常に面倒である。まだしばらくこの作業が続く。もっと上手い証明方法があるような気がする。
2023/03/20	単調な証明が続いている。考え方はこれで正しいのであろうかと疑問を感じながら、証明を続けるのはとても疲れる。どこかに正しい証明方法が記載されていないであろうか？確認できないのが辛いところである。
2023/03/21	順序数の和に関して一通りのことは記述できた。【補題2】の証明がこれで十分かどうか不安な点もある。直感的には当たり前のことなので、どのように証明すればいいのか見当が付かないのが難しい。見直しの後でHTML化を行いたい。久しぶりに長くなっている。
2023/03/22	「問題：整列集合」の【問題3】において参考文献の番号ミスが見つかったので修正した。いろいろとミスがあるものである。順序数の和においても多くのミスが見つかっているので、修正に時間がかかったが何とか完了した。次は、積であるがこれもまた大変である。同じことの繰り返しが続きそうである。
2023/03/23	「問題：写像・集合族・直積・選択公理」の【問題4, 6】を見直していたらミスが数か所見つかったので修正した。この問題が以前から分からなかった問題に必要となることがわかった。ただ、問題の解決には至っていない。
2023/03/24	「ツォルンの補題の応用 (I)　ー濃度の和と積ー」において記号ミスが見つかったので修正した。【定理2】を参照しようと読み直してたらミスが見つかった。いろいろなところにミスが存在している。すべてをなくすことは不可能であろう。
2023/03/25	直積に定義を写像の集合であることが明確になるように修正した。見直すといろいろと問題点が見つかってくる。
2023/03/26	順序数の積に進む前に、以前から気になっていた点についてまとめている。素朴に関変えると選択公理を使っていることに気が付かないことが多いので、選択公理をどのように使うのかを例をもとにまとめている。考えるべき集合族と添数集合をどのように見つけるかが難しい点である。今回の例題では、単射性を証明するのもかなり難しい問題であった。もう少し整理するようにしたい。また、「集合系と集合族」、「可算集合とその性質」において記号ミスが見つかったので修正した。写像である集合族にその像の記号を用いていた。
2023/03/27	「可算集合とその性質」においてまたミスが見つかった。当時はこれでよいと思っていたのだが、見直すと疑問を感じる部分が多い。定理5は選択公理を用いていないように見えるがこれは正しいのであろうか？どこかで暗に使用されているのであろうか？それともこの方法だと選択公理なしで証明できるのだろうか？疑問に思うと切りがない。また、「集合系と集合族」に（注1）を追加した。
2023/03/28	「可算集合とその性質」の【定理3】の証明において選択公理が使われているのかいないのかはっきりしなかったのであるが、今回どこにどのように選択公理が使われているのかははっきりと理解できたので（注2）として追加した。まさに、選択公理は空気のように使われていてそれに気が付くのは難しいことがよく分かった。
2023/03/29	「写像の対応関係を表示する方法」でミスがあることがわかった。これにより記号が上下反転していることに今日気が付いた。関連した箇所の修正も行った。様々な箇所にミスが見つかっている。後にならないと気が付かないものである。
2023/03/30	「濃度の和と積」で関数の表示の修正を行った。あた、証明において選択公理を用いていると思われる箇所があるので（注）を追加した。これまでの証明の中でも、気づかずに選択公理を用いている箇所がありそうである。もう一度見直しが必要である。
2023/03/31	「選択公理による証明 (1)」における例をもう少しわかりやすい例に変更した。これにより選択公理がどこにどのように用いられているかが分かりやすくなった。また、どのような場合に選択公理が必要となるかも明確となった。以前の例は、もう少し整理してもう一度まとめてみたい。証明方法が3種類ぐらいあるので、どれがいいのかも検討したい。
2023/04/01	やっと「選択公理による証明 (1)」をまとめることができた。この例で選択公理がどのように使われているかが分かるようになった。次は、関数とグラフの関係を定義して、次の例に進みたい。
2023/04/02	次の命題の証明に必要となる関数のグラフによる表現について整理した。関数を集合論的に扱うと直積の部分集合となることを再度確認しておくことが大切である。グラフというと座標平面上の直線や放物線などと考えがちであるが、もっと広い意味で捉えることが必要である。
2023/04/03	【命題2】を選択公理との関係が明らかになるように修正した。この場合は、選択公理が不要であることを明記した。また、「選択公理による証明 (1)」に別の証明方法を追記した。
2023/04/04	選択公理が用いられる例をもう1つ追加した。どこのどのように選択公理が使われるかをくどいくらいに説明した。ふつうはこの部分は、省略されているようである。後は以前の問題をもう一度考えてみたい。
2023/04/05	以前に作成していた無限集合と可算集合に関する定理を再び整理し始めている。この定理の証明はいろいろなパターンがあるので、これらを比較のため示したいと思っている。いろいろな観点から証明できるのは面白いことであるが、同時に難しく感じる点でもある。
2023/04/06	選択公理をどのように使ったかを協調できるように書き換えた。帰納法による関数の定義の妥当性については（注1）として追加することにした。これで証明の流れがスッキリした。まだ、（注2）を追加する必要があるので、ここを検討中である。
2023/04/07	（注2）を追加とミスの修正を行って一通り完成させた。これで可算部分集合定理を選択公理により証明することができた。ここまでの演習で選択公理がどのように使われているのかがよく分かった。十分に注意しないと気が付かづに使ってしまいそうである。また、「整列集合」で文献番号にミスが見つかったので修正した。
2023/04/08	以前から分からなかった定理の証明に取り掛かっている。いろいろと質問して教えてもらった内容をまとめている。かなり難しい内容となっている。これだけのことを考えないといけないとすると、自力で証明できなかったのは仕方ないことと思われる。
2023/04/09	定理の証明を完成するまでに半年近くかかってしまった。簡単そうに見えるけれどもかなり奥の深い定理であった。まだ、もう一つ残された定理があるので、それも考えてみたい。
2023/04/10	気になってたもう1つの定理の証明を行った。ここでは濃度の関係を用いて証明したつもりであるが、これで正しいのかどうか判断できない。どこかに矛盾を含んでいる可能性もあるので、注意が必要である。正解がない問題を考えるのは確認ができないので難しい。
2023/04/11	集合論における和集合、直和、直積の概念をまとめている。和集合と直和の関係に曖昧な点があったので、このあたりを明確にしておきたい。現時点では、互いに素な集合に対しては、両者は対等であるので同一視してよいという意味で同じというふうに考えている。この見方でいいのであろうか。もう少し調べてみたい。
2023/04/12	無縁和と直和を同一視して考えることに問題はないことが文献により判明した。これでいままで曖昧だった集合論における直和の意味がはっきりとしてきた。ベクトル空間においても直和の概念があるので、次はこれについて調べておきたい。
2023/04/13	ベクトル空間における直和には2つの考え方があって混乱しやすいので、この点を区別してまとめている。異なるものを同一視して同じ記号で表すことが多いのが混乱の原因である。そのためなぜ同一視できるのかを理解しておくことが大事である。今回はこの点についてまとめている。同一視してるという観点を忘れないようにしなければならない。
2023/04/14	ベクトル空間における直和を無限個のベクトル空間にまで拡張しようとするとまたまたややこしくなってきた。直和はなかなかわかりにくい概念である。まだ、全体を統一的に理解できていない感じである。もう少し検討が必要である。
2023/04/15	添数集合が有限の場合と無限の場合の比較を行った。直積と直和の違いが明らかになった。ベクトル空間の直和にいて、特別な場合として、そのベクトル空間が部分空間である場合が含まれていることも分かった。
2023/04/16	よく考えるとベクトル空間ごとに加法とスカラー倍が定義されるので、各ベクトル空間ごとに加法とスカラー倍に記号は異なっていなければならない。しかし、このようなことをっすると表記が複雑になるので、記号の重複を許して同じ記号を用いていることに気を付けなければならない。ベクトル空間を考える際に、ややこしくなるのはこの記号の重複が当たり前に行われている点である。このことに気が付かないと、意味がよく分からなくなる。ここまでで、これまで気になっていた直和の考え方がある程度整理できた。また、時間がたつと混乱しそうなので、そのときはまた見返すことになりそうだ。
2023/04/17	抽象的な直和は外部直和、部分空間としての直和は内部直和ととも呼ばれることをついかした。他の文献と比較する際にこの名称で書かれている場合もある。同じことをいろいろな名前でよぶので混乱しやすい。ベクトル空間の直積と直和が具体的に何を表しているのか分かりにくいので具体的な例をあげた。あまり分かりやすい例ではないが、感じはつかめそうである。
2023/04/18	直和と1次結合との関係も追加した。また、ミスの修正をおこなってHTML化までを行った。これで一段落したので、残された順序数の積に取り掛かりたい。ここがまたややこしいのである。
2023/04/19	順序数の積についてまとめている。和の場合よりもさらに複雑になる。これからしばらく公式の証明が延々と続きそうである。積が終わってもまだ冪が残っている。これがこれまで以上に難しそうである。とりあえず積を攻略したい。なかなか集合論が終わらない。
2023/04/20	まだしばらくは同じような証明の繰り返しになる。これだけ繰り返していると証明方法も分かり始めている。面倒ではあるが我慢して練習していくしかない。
2023/04/21	整列集合間の順序同型写像は一意的に決まるので選択公理は不要であることが判明したので記述を修正した。ここまでで順序数の積の定義に関する部分はまとまったので、ここで一区切りとしたい。積の性質については次のセクションで扱うことにする。
2023/04/22	順序数の積の公式の証明を行っている。この証明をきっちりと記述した文献がないので、ここで示したものが正しいかどうか確認できていない。手順は、順序総計写像を構成して等式を示している。ひとつひとつ順序同型写像であることを確認しなければならないので、非常に手間がかかる。当たり前のように思われるので、説明がかえって難しい。記号も複雑になってしまう。きれいな証明がどこかに見当たらないであろうか？
2023/04/23	順序数の積の主な公式の証明を完了した。この証明が正しいかどうか判断がつかないのが困ったことである。各々の証明はかなり面倒である。単なる掛け算と非常に似ているので、証明に困ってしまう点が多かった。矛盾がないかよく確認して、前節と合わせてHTML化を行いたい。チャックにしばらく時間がかかりそうである。
2023/04/24	「順序数の積」も見直しを行い、ミスを修正した。かなり多くの部分でミスが見つかった。モニター上で見ているだけではなかなかミスを見つけることは難しい。
2023/04/25	「順序数の積の性質」も見直しを行い、ミスを修正した。これで順序数の積まで完了した。次の冪を考えるためには少し準備が必要となる。数学的帰納法をもう一度見直すこととなる。順序数は集合の入門レベルを少し超えたところのレベルである感じがする。教科書でさらっと書かれているので簡単なのかと思っていたが、逆に難しいので深入りしていなのであった。
2023/04/26	N上で帰納的に定義される関数という概念を導入した。この考え方が、順序数の超限帰納法を考える際に必要となるようだ。まだまだ道は遠い。いつになったら集合論を完了できるのであろうか。
2023/04/27	累積帰納法により定義される例として有名なフィボナッチ数列があることがわかった。次は、順序数のクラスと集合についてまとめたい。これは順序数のところで扱わなかった内容となる。
2023/04/28	順序数のクラスの概念を追加した。順序数における超限帰納法を考える際に必要となる考え方である。順序数の冪を考えるためには、まだしばらく準備が必要となる。
2023/04/29	整列集合について、$\varphi$整列集合という概念がまだよく分からない。【命題3】、【定理1】の証明がよく分からない。この解明にはしばらく時間がかかりそうである。少し違った考え方をされると対応できなくなってしまうのは困ったことである。これも練習と思って考えていくしかない。しかし、分からないことが演習問題で、その答がないのは辛いことである。
2023/04/30	参考にしている教科書の記述だとよくわからなかったので、ネットで見つけた「集合論の学習での重要なポイント」をもとに改良を行っている。これで少しは分かりやすくなった気がする。教科書では肝心のところが問題となっていて答がないので理解できない。面倒だからと言って解答なしの問題にするのは困ったものである。
2023/05/01	選択公理からの整列定理の証明を最後まで追跡することができたが、かなり難解な論理展開に思われるのでもう一度見直しが必要であろう。整列クラスが途中で整列集合に変わっていたりして、両者の区別が曖昧な気がしている。かなり複雑な流れであるので注意が必要だ。$\varphi$ 整列順序という考え方にまだ馴染んでいないためかもしれない。
2023/05/02	$\varphi$ 整列集合というのは $\gamma$ 集合と呼ばれている集合に対応することがわかった。こちらの方はたまに見かけて何の事だろうと思っていた集合である。これでひとまず選択公理から直接、整列定理を導けたことになる。これが必要になるとは思わなかった。この準備によって次に進むことができる。
2023/05/03	順序数上での超限帰納法の定式化を行っているが、スッキリと理解するのが難しい。$\varphi$ 整列順序というものにまだ十分に慣れていないことが原因であろう。証明方法もかなり難解である。何度も見直すことが必要である。
2023/05/04	誤解してた部分もあり大幅に修正を行っている。On上でも超限帰納法により再帰的に関数が定義できることを示すのは重要なことであるようだ。考え方がまだ十分に理解できていない。難しく感じる。
2023/05/05	かなりの修正を行った。Onの先行部分とOnの切片の区別が曖昧だったことが、分かりにくい原因の1つであった。この点を明確に区別できるように定義として付け加えた。ここでの方法により、順序数の和と積が超限帰納法で定義できることが分かった。このことから次に、順序数の累乗を超限帰納法で定義することになる。
2023/05/06	順序数に入ってから急に概念が難しくなってきたと思ったら、ここからが現代集合論の入口となるようである。これまでは古典的な素朴集合論であったのだが、順序数をもとに考えるのが現代的なスタイルであるらしい。松阪の本を参考にしているので、かなり古いスタイルで集合論を勉強してきたことになる。しかしながら、初めから現代的なスタイルで考えていたら何をやっているのかさえも分からなかったであろう。ここまで進んできたので現代的な考え方も少しは理解できているのであろう。
2023/05/07	「N0上で帰納的に定義される関数」の例において、定義されていない引き算や割り算を用いて計算してたので、定義に従って計算するように修正した。和と積歯科定義していないのに、気が付けば引き算や割り算を当たり前のように使ってしまうことには注意しなければならない。
2023/05/08	超限帰納法での順序数の累乗を考えるところまでやってきた。超限帰納法による証明方法を身につけるのが一苦労である。一見当たり前に見える関係が多いので、無駄なことをしているような気がしてしますが、よく考えると当たり前ではないので証明が必要であることがわかる。実数での加減剰余に慣れてしまっていて普通は疑問に感じないことである。
2023/05/09	これからしばらく関係式の証明が延々と続くことになる。同じことの繰り返しになる感じであるが、一つづつやっていくしかないであろう。証明を通して累乗の定義の有効性が分かってきた。
2023/05/10	【補題1】の証明に1日かかってしまった。(i)の証明がどうしてもわからなくて、時間がかかった。分かってしまえば、何ということもないのであるが、分からないといつまでも分からないものである。
2023/05/11	順序数の累乗に対する指数法則まで証明することができた。これまでの関係式をフル活用することが必要でありかなり難しかった。また、しばらく証明が続きそうである。集合論入門の最終場面に近づきつつある。この後は本格的な集合論になるが、どこまで深入りするか迷うところである。
2023/05/12	順序数の累乗に対する関係式の主なものの証明が完了した。超限帰納法を繰り返し用いる手間のかかる証明であった。この後見直しをおこなって完成としたい。次は、基数との関係となる。またさらに難解である。
2023/05/13	ミスを修正しHTML化を行った。かなり長くなったので、まだミスが残っている可能性もある。証明も必ずしも正しいとは限らない。ミスが見つかれば修正が必要である。もう一歩進んだ点から見直すと、正しくないこともあるだろう。
2023/05/15	濃度の考え方を順序数の観点からもう一度見直すことをきっちりとやろうと思ったが、これをやり始めると終わらないので、松阪本のレベルでとどめることにした。ここから先は、公理論的集合論や数学基礎論といった領域に入っていくのでここで一旦停止することとした。この部分をまとめ終わったら集合論をひとまず停止して、位相へ進むことにした。
2023/05/16	集合論はまだまだ奥が深いのであるが、ここまでの入門段階で一旦退却とする。この先順序数に関する深遠な議論が続き興味深いのであるが、これ以上進むと戻れなくなる。次の位相を完了できれば、また戻ってくるのがいいだろう。ここまでよく集合論の話が続いてものである。
2023/05/17	いよいよ位相空間論へ突入である。第1目標は関数の連続性も位相による説明とする。位相の考え方を今まで意識することがなかったので、どのような考え方であるのか興味深い。知らないことがかかるようになるのは楽しいことである。また、一歩一歩進んでいくしかないであろう。
2023/05/18	はじめは定義をしっかり確認しながらゆっくりと進んでいき野がいいだろう。ここからいろいろな言葉が定義されてややこしくなってくる。整理しながら進めなければならない。
2023/05/19	内部、外部、境界の定義を行った。当たり前のように思えることもきっちりと定義して証明するのはなかなか難しい。基礎をしっかり押さえておかないと後で混乱しそうである。
2023/05/20	2次元で考えるとイメージしやすいが一般の次元となると直感的には捉えにくい点も多い。3次元空間の中の2次元境界までが限界であろう。
2023/05/21	閉包の定義まで進んだ。だんだんとややこしくなりつつある。次はいよいろ開集合、閉集合である。ここから一段と難しくなる。混乱しやすい部分である。
2023/05/22	例によって、徐々に難しくなってきた。ほとんど明らかと記されていて証明されていないので、一つ一つ証明するのに時間がかかる。独自で考えた証明は正しいのかどうか分からない点もある。確認できないのが辛いことである。次の【定理2】がまたややこしそうである。
2023/05/23	開集合、閉集合を定義に基づいて証明するのはなかなか手間がかかる。直感的に自明と思われることもあるが、直感では判断できない場合もある。開集合・閉集合の共通部分、和集合がどうなるかは今後重要になりそうである。考え方をよく理解しておきたい。
2023/05/24	証明の改良を行っているが、まだしっくりこない部分もある。[a, b]が閉集合であることの上手い証明方法はないだろうかと思っている。もう少し考えてみたい。
2023/05/25	ミスの修正とHTML化を行った。久しぶりに長かったので時間がかかった。
2023/05/26	開集合系の基底の概念まで進んできた。位相空間においてもベクトル空間と同じく基底の概念があることは興味深い。開球体が基本的な基底となっていることも面白く感じる。
2023/05/27	開集合系の基底の性質はベクトル空間の基底とよく似ていることがわかった。これが今後どのように利用されていくのか楽しみである。次は、第1目標である連続関数の開集合による考え方である。この部分は全く知らない概念なのでよく理解したい。
2023/05/28	微分幾何において連続関数を開集合により定義していた箇所があってよく分からなかったのであるが、ここではじめて理解できたような気がする。以前は開集合の意味を理解できていなかったので、何を言っているのかピント来なかったのであろう。今回、開集合からしっかり理解しているので、スムーズに納得できた。数学は基本が大切である。途中から理解するのは難しい。
2023/05/29	連続の場合と不連続の場合の簡単な例を追加した。また、ミスの修正を行った。次は、演習を行ってこれまでの内容を確認したい。
2023/05/30	演習を行っているが相変わらず難しい。論理的に説明するにはいつも苦労する。一つ一つ丁寧に解いていくしかないであろう。あと1問頑張りたい。
2023/05/31	演習を終了した。次からは本格的な位相へ突入する。ここからさらに抽象的となり難しくなる。ここまでで得たイメージがどこまで使えるかである。
2023/06/01	位相の一般論がはじまった。与えられた集合の位相をすべて数え上げるのはかなり大変な作業であることがわかった。かなり多くの位相が考えられるので、どの位相に注目するかが難しい。
2023/06/02	たった3個の元に対しても29個もの位相が存在するのは驚きである。これ以外に位相はないということを論理的に示すことはできるのであろうか？
2023/06/03	位相の定義に関する部分を完了した。次は、開核、内部について新たな観点から考えることになる。一歩づつしか進めないのでなかなか前進できない。最後まで辿り着くであろうか？
2023/06/04	開核作用子などという聞きなれない概念が登場して戸惑っているが、じっくりと考えれば理解できない概念ではない。開集合系に代わって、開核作用子を指定することで位相構造を定めることができるようである。今のところは、このような位相の定め方もあるということでいいのかもしれない。
2023/06/05	開核作用子により位相を定めることができることまで証明した。もう一度見直して完成させたい。
2023/06/06	以前は開集合の定義が何を意味するのかよく分からなかったが、順序だてて勉強しているのでいまは何となく納得できている。このことから数学の概念を途中から理解するのは難しいと感じる。次は、同じことを閉集合で考えることになりそうである。このあたりは繰り返しになるので、少し面倒な感じである。
2023/06/07	閉集合に関連する事項をまとめている。開集合と双対的であるのでやることはほとんど同じである。だた証明しようとすると戸惑う点も多い。
2023/06/08	開集合の場合と同様にして閉集合についても証明を行ったが少しわかりにくい。もう少し整理する必要がありそうだ。
2023/06/09	分かりにくかった部分を見直していると次々とミスが見つかった。かなり修正して分かりやすくなったのであるが、まだミスがひそんでいる可能性がある。また時間をおいて見直すことが必要である。
2023/06/10	見直すと切りがないのでここで打ち切りとした。また、ミスが見つかるかもしれない。そのとき修正する。開集合、閉集合を一般的に定義できたので、次は境界について考えることになる。
2023/06/11	内点、触点など以前にR^n空間において定義した概念を一般の位相空間においてあたらめて定義している。それらの性質は一見当たり前のように思えるのだけれども、証明しようとすると戸惑ってします。今回はごたごたした証明となっている。もっとスッキリとした証明方法があるかもしれないが思いつかない。定義も微妙な表現をしているので、後々混乱しそうである。特に、集積点の定義の意義が今はよく分からない。なぜこのように定義するのか理解できていない。
2023/06/12	証明の混乱している部分を改良してスッキリさせた。また、いくつかの命題を追加した。この証明ももっと簡単にできるのかもしれない。また、時間をおいて考えるのがいいであろう。この段階では、集積点、孤立点の有用性はまだ分からない。
2023/06/13	必要な概念の定義とその性質の証明を行った。次は、近傍系についてとなる。また同じようなことの栗開始になる。しばらく我慢が必要である。かなり抽象的な概念が続くので慣れが必要である。
2023/06/14	近傍の定義を行っている。定義から導かれる自明と思われる性質をいちいち証明していると時間がかかる。これも練習と思ってやっていくしかない。
2023/06/15	近傍系の概念は慣れるまでは難しい。証明も一度読んだだけでは理解できない。少し時間がかかりそうである。
2023/06/18	近傍系により位相が導入できることの証明を一通りまとめたのであるが、最後の方の論理が複雑で分かりにくい。もう少し上手くまとめることができないか検討する必要がある。このような複雑な論理はとても思いつかない。この証明は初めてだときわめて難しい。
2023/06/19	分かりにくい点を修正している。少し分かりやすくなった気がするが、元々が抽象的であるのでイメージするのが難しい。一般的な位相空間の性質を考えることは難しいことである。
2023/06/20	見直していると改良しているのか改悪しているのか分からなくなってきたので、ここで一旦停止する。位相の導入方法のまとめを行ったので、次は演習を行いたい。
2023/06/22	演習で必要となるので、閉集合における位相的双対律に関する部分を修正した。これで双対性の意味が分かりやすくなった。演習問題は難しいので解くには時間がかかる。自力で解くのは困難だ。
2023/06/23	演習問題をまとめ始めている。あとで見返したときに分かるように詳しく書いていると冗長になってします。考え方を忘れないように丁寧に書いておくことが後々のためであると考えて、あえて冗長に証明を記述しておく。名大の授業：谷村省吾教授「現代の量子論」のyoutubeを見ていたら面白くて時間が無くなった。
2023/06/24	主な演習は完了できた。これで正しいかについては判断できない点もある。もう一度見直しを行って完成させたい。ここからさらに難しくなりどうである。
2023/06/25	ミスの修正を行い完了した。ここまで辿り着いたが、まだまだ道は長い。最後まで辿り着けるであろうか？年内に辿り着ければいいのだが・・・。
2023/06/26	定義していない文字を用いていたので、閉集合における【命題1】を修正した。
2023/06/27	位相の強弱の具体例をハッセ図として描いていたら時間がかかった。3つの元の場合でもかなり複雑になる。これで具体的なイメージはつかめそうである。
2023/06/28	位相の強弱については、何となくそうなりそうな気がするのであるがそうでもないような気がする点もあり理解が難しかったが、具体例を考えることで少し整理できたような気がする。今回はこの具体例の図を描くのに時間がかかってしまった。線か複雑に入り乱れるので、よく見ないと分からない。この図で正しいであろうか？
2023/06/29	ミスの修正を行い、HTML化した。これで位相の強弱については一応完了として次に進む。次の位相の生成はまたややこしくて混乱しそうである。なかなか前進できない。
2023/06/30	位相の生成の証明を行ったが、例によってなかなか難しい。どうしてこのようなことが思い浮かぶのか不思議である。言われて盛れば確かに納得できるのであるが、とても思いつきそうにない。いまのところ、なぜ位相の生成を考えるのかの理由もわからない。次の基底に進めば理解できるかもしれない。一歩ずつ進むしかない。
2023/07/01	例を追加してミスの修正を行った。何度か読み直すといろいろと疑問点が湧いてきてします。まだミスがあるかもしれないが、ここはこれで完了とする。次は、基底の考え方へ進。
2023/07/02	位相空間の基底について考えている。教科書ではさらっと書いてあって分かったような気になるのだけれどもよく考えると分からなくなる。基底が一意的に定まらないことの意味がいまひとつわからない。ベクトル空間のような1次独立という条件がないので、余計な元を加えてもいいということだろうか？この点はもう少し調べる必要がある。
2023/07/03	元が3つの有限集合では、いい例が見つからなくて苦労している。このあたりはほとんど一言で説明されているので分かりにくい。すんなり受け入れられないので時間がかかってしまう。
2023/07/04	第二可算公理まで含めると長くなりそうなので、ここで一旦まとめることにした。見直しを行って完成させたい。話が込み入っているので納得できるまで時間がかかる。
2023/07/05	ミスを修正し、HTML化した。次は第二可算公理へと進む。ここがまたややこしそうである。また、「位相」における参考文献のリンクミスを修正した。
2023/07/06	端点がすべて有理数の開区間がRの基底となることの証明に時間がかかっている。この証明で正しいのかどうか分からない。同様にして、直ちに示されると記されているが直ちにはできなかった。もっと簡単な方法があるのかもしれない。答がないので確認できない。証明したつもりでも、それが正しいかどうか判断できないのが最大の難問である。
2023/07/07	一通り証明を終えたのであるが、これで正しいかどうかもう一度見直して完成としたい。説明は自明としか書かれていないので困ってしまう。自明のようで自明でないような気がするので気持ちが悪い。
2023/07/08	ミスを修正し、HTML化した。説明が省略されている部分が多いので時間がかかる。自明だから書いていないのか、面倒だから書いていないのか判断が付かない。まだ100ページ以上残っているので、このペースでは年内に終わりそうにない。ゆっくりと進むことにしたい。
2023/07/09	基本近傍系の定義の理解がなかなか難しい。一見何でもないように思うのであるが、よく考えると分からなくなる点も多いので、しっかり理解することが必要である。簡単なことを言っているようなのだけれども、誤解してしまいような点もある。
2023/07/10	ゾルゲンフライ位相まで含めようかと思ったが、長くなりそうなので別セクションで述べることとした。ここまでの範囲をもう一度見直して完成としたい。まだあまりピンときていないてんもある。
2023/07/11	ミスの修正を行い、HTML化した。ひとまず基本近傍系は終わりとし、次に進む。また、演習問題で色々出てくるのでそのときの考えたい。
2023/07/12	可分の意味がやっとわかった気がする。いままで曖昧であったけれどもその意味がやっと理解できた。いろいろな用語が次々と出てくるので覚えるのが大変である。また、いままで稠密の漢字を間違えていたことにも初めて気が付いた。
2023/07/13	可分位相空間まで完了した。次は演習問題である。しばらく難しそうな問題が続くので時間がかかりそうだ。
2023/07/14	基底に関連した問題を解いているが難しい。着眼点がなかなか見いだせない。解答を見て理解するのがやっとといった感じである。解答のない問題は解けそうにない。まだ、あと半分以上あるので、時間がかかりそうである。
2023/07/15	個々の問題が簡単ではないので時間がかかる。根拠をできるだけ示して解こうとすると説明が冗長になる。これも後で読み返したときに分からなくならないように必要な手立てである。まだ、半分問題が残っているので、まだまだ大変である。
2023/07/16	近傍の図1にミスが見つかったので修正した。(Viv)は何を言いたいのかがわかりにくい。見直すとまだまだミスが見つかりそうである。
2023/07/17	だんだんと証明が怪しくなってきている。証明したつもりであるが、これが正しいかどうか不安が残る。また、もっと簡潔な方法があるかもしてない。残りあと2問であるので、何とか片づけたい。
2023/07/18	最後まで辿り着いたが、近傍系と基本近傍系の関係が十分に整理できていないため証明がかなり複雑になっている。堂々巡りをしているような感じもする。このあたりをもっとすっきりさせたいものである。教科書の本文中では説明されていない部分なのでかなり難しい。見直しによるミスの修正と論理の整理を行いたい。難問の連続であった。
2023/07/19	問題2までの修正を行った。まだしばらくかかりそうである。
2023/07/20	一通りのミスを修正した。やはり(Viv)に関連する命題はイメージするのが難しい。まだ、納得できていない感じがする。もう一度見直して完成させたい。子さしぶりに、15ページと長いので大変である。
2023/07/21	やっと完成した。問題数が多いので時間がかかってしまった。ひとまずはこれで良しとしよう。次は、いよいよ連続写像である。ここはしっかりと押さえておきたい。
2023/07/22	連続写像の定義と性質について考えている。ここにきて集合論での逆像の性質が重要となっている。これまでに導いた公式が多用される。逆像の公式がなんの役に立つのかと思っていたけれども誤解であった。非常に役に立つ公式である。ここまできてやっとその重要性が実感できた。
2023/07/23	「部分集合の順像と逆像」において逆像とすべきところを順像としている箇所があったので修正した。連続写像におけるミスも修正しHTML化した。これで位相空間での連続関数の定義がよく分かった。次は、実連続関数へと進む。ここも証明が省略されている部分があるので、時間がかかりそうである。
2023/07/24	実連続関数に関する証明は自明という感じで証明が記述されていないので、ここでの証明で正しいのかどうか分からない。確かに、自明のように見えるので証明するのがかえって難しい気もする。教科書では、ここは軽く流されている感じである。
2023/07/25	一通り証明できたので見直しをおこなって完成させたい。省略されている証明部分を補っているがこれでいいかどうか確認のしようがないのが常に問題である。
2023/07/26	ミスの修正を行い、html化した。次は、開写像であるがこの部分もあまり説明がないので苦労しそうである。
2023/07/27	ほとんど自明ということか全く証明が記されていないので証明を追加したが、これが正しいかどうか確認できないのが残念である。このあたりではこれまでの写像に関す知識をフル活用する必要がある。写像のいい復習ということかもしれない。
2023/07/28	開写像、閉写像の概念が今後どのように使われるのか現時点では分からないがいつか役に立つのであろう。また、「部分集合の順像と逆像」の【命題5】にミスがあったので修正した。見直すといろいろとミスが見つかる。
2023/07/29	同相写像についてまとめたが、この部分も証明が記されていないので、この証明で正しいかどうか疑問が残る。もっとスッキリとした証明方法があるかもしれない。また、もう一度検討してみる必要がある。このところ結果のみが記されているので理解するのが難しい。
2023/07/30	ここまで来てやっと同相写像の意味が理解できた。位相を理解できていなかった時には、同相写像は何を言っているのかわからなかった。やはり基礎は重要である。次は、また演習問題である。しばらく時間がかかりそうだ。
2023/07/31	今回の問題もかなり難しい。どこに着目すればいいのかが見当がつかない。【問題2】は解答を見てもすぐには理解できなかった。これまでのいろいろな知識が必要となり、初めてだと難しい。
2023/08/01	問題は1問解くのに非常に時間がかかる。いまは、問題6で苦戦している。この調子ではなかなか前進できない。また、連続写像にミスがあったので修正した。
2023/08/02	同相写像の参考文献にミスがあったので修正した。問題を一通り終えたが、これでいいかどうかの検討が必要である。もう一度チェックを行いたい。答がないので、正しいかどうか分からないのがつらいとことである。
2023/08/03	まだミスはあるだろうが、このあたりで良しとすることにし次に進む。次はまた大変そうである。問題も多いので時間がかかりそうだ。例年夏場はさぼりがちになるのだけれども、今年はよく続いている。目的地までまだまだ遠いからかもしれない。いつになれば修了できるかわからない。
2023/08/04	「順序集合」、「順序集合とハッセ図」の下限の定義でのミスを修正した。見直すと各所にミスが見つかる。また、誘導位相の概念が難しい。何をしたいのか今のところよく分からない。証明も詳しく書かれていないので解読が難しい。
2023/08/05	誘導位相を完了した。このあとでこの概念が使われていくことになるので、そこでさらに理解を深めることになるだろう。
2023/08/06	直ちに導かれるとして証明が練習問題となっているので困ってしまう。いつものように正しく証明できているかが判断できない。数学書はこのパターンが多いのでなかなか進まない。
2023/08/07	相対位相まで完了した。これがどのように役に立つのかは今後の展開によるのだろう。ひとまずここで完了として、次の直積位相へ進む。いろいろな概念が次々と登場してくるのでだんだんと混乱してくる。
2023/08/08	直積位相はごたごたしていて分かりにくい。もっとすっきり理解する方法はないだろうか？説明も省略が多いので分かりにくい。
2023/08/09	直積位相を一応終了したが、まだしっくりとこない点も多い。もう一度見直しが必要である。考える空間が複雑になってきているので理解するのが難しい。
2023/08/11	まだ腑に落ちない点もあるのだけれども、全体像が掴めてから再度見直すことにする。今回はここで完了とし先に進む。このあと問題が20門もあるので時間がかかりそうである。問題を解くことで何かがつかめるかもしれないことに期待する。
2023/08/12	演習問題は1問解くのにかなりの時間がかかる。解答がない問題も多いので正しいかどうかも分からない。問題数が多いのでここでかなりの時間を費やしそうである。
2023/08/13	この暑さの中では、1問解くのがやっとである。問題を完成するだけでも1か月ぐらいかかりそうだ。暑いのでゆっくり進むしかない。いつも夏場は中断しているので、今年はよく進んでいる方である。
2023/08/14	やっと3問目が完了した。自分で考えた証明を別証として残しているが、解答の解と比べるとスッキリしない解法となっている。解答のレベルまではなかなか到達しそうにないのが残念である。最初はこんなものと思って1問づつ解いていくしかないだろう。
2023/08/15	1/4のところまでやってきた。まだまだ先は長い。あと15問を考えるのは精神的に大変である。証明問題はとても疲れてします。休み休みでないとできない。
2023/08/16	今回もまた1問だけとなった。なかなか進まないのである。暑いので、ゆっくりと行くしかないだろう。また、「実連続関数」のミスを修正した。
2023/08/17	久しぶりに式変形の計算をおこなった。以前はこのようなことばかり行っていたのだが、いまは少し数学らしくないなと違和感を感じる。抽象的な議論ばかり行っているからかもしれない。具体的に与えられた写像の全単射性を証明するのはかなり面倒である。グラフとして描けば明らかに見えるけれども、しっかり示すのは面倒である。
2023/08/18	相対位相に関する問題が完了したので、ここでひとまずまとめることにする。もう一度見直しを行って完成させたい。やっと半分まで来た。残りは直積位相に関連した問題となる。まだまだ時間がかかりそうだ。
2023/08/19	演習問題の半分が完了した。あと残り半分であるが、今度は直積位相に関する問題で、今まで以上にややこしそうである。まだまだ時間がかかりそうだ。
2023/08/20	直積位相の【系1】の証明を修正した。見直すといまひとつ意味が分からなかったので修正した。直積位相の演習問題は非常に難しい。どの空間を考えているのか混乱してします。かなり手ごわい演習である。
2023/08/22	直積や直積位相の概念を十分に理解できていないためか、問題をかなり難しく感じる。何をやっているのか途中で分からなくなる。演習を通して理解を深めるしかないだろう。
2023/08/23	あと5問にまで迫ったが、ここからまた難問が続きそうである。問題文が長いのが難しく感じる。まだまだ時間がかかりそうである。ゆっくり進むしかない。
2023/08/25	問題6が難しくて手が出なかった。特にgの連続性を示すところが全く分からなかったので1日かかってしまった。どうしようもないのでYahoo知恵袋に質問したら素晴らしい解答をもらうことができたので何とか解決できた。このあたりは一人で考えることは難しいと感じた。
2023/08/26	問題7まで一通り完了した。問題7はこれでいいかどうか不安な点もある。矛盾はないように思うのだが、確信はない。残りあと3問である。あと少し頑張りたい。
2023/08/27	いよいよあと1問にまで迫った。各問題が難しいので随分と時間がかかってしまった。また、非常に長くなってしまった。当たり前のことをいちいち説明しているから証明が長くなっている。後に見直したときに思い出せるようにしておくことを優先している。理解が身に付けば1/10ぐらいに短縮できるのだろう。
2023/08/28	やっと最後までたどり着いた。難問続きなので最後まで辿り着けるかどうか心配であったが何とか辿り着いた。ここから見直しを行って完成させたい。非常に長くなったので、見直しも時間がかかりそうである。まだ、しっくりこない箇所もあるので要注意である。
2023/08/29	「写像に関するその他の概念」に新たな項目を追加した。逆写像と右逆写像・左逆写像の関係を詳しく説明した。この内容を修正で利用することになる。古い内容を修正するのは手間がかかる作業である。8月中に演習問題を完了できるかどうかぎりぎりのところである。
2023/08/30	なんとか8月中に演習問題を終えることができた。長かった。まだ、いろいろとミスが残っているだろうが次に進む。いよいよ、連結性とコンパクト性である。これらの概念については全く理解できていないので、ここでしっかり押さえておきたい。ここがわかると今まであいまいだった概念がはっきりしてくるだろう。
2023/08/31	ここからまた新しい概念について学習することになる。いままで深く考えることのなかった連結性についてよく理解しておきたい。計算するだけの数学では深く考える必要はなかったのであるが、一歩深みに進んだ数学では必須の概念のようである。いまのところまだピント来ていないのであるが、慣れてくると分かるのかもしれない。
2023/09/01	新しい領域に入ったので、少しずつ短い範囲でまとめていきたい。新しい概念が多くてなかなか覚えられない。ここまででもいろいろな概念が次々と登場してまだ消化できていない部分もある。
2023/09/02	しばらくは各項目ごとの短い内容が続くことになる。あまり長くすると見直し等がしんどいので、短くまとめていくことにする。
2023/09/03	連結成分という同値類に関連した概念が出てきた。よく考えると分かるのだけれども、すぐには理解しずらい。まだ、連結性で何を言いたいのかまでは掴めていない。今後に期待であろう。
2023/09/04	連結空間の直積を考える難しい節であった。以前、証明に苦労した問題を用いて証明を行うので、演習問題をしっかり解いていないと理解できない内容であった。答のない演習問題の結果を本文中の証明に利用するのは初学者向けの教科書としては丁寧ではないと感じる。このあたりが数学書を読む難しさだろう。
2023/09/05	ミスの修正をおこないHTML化した。1項目ずつ短くまとめているのでよく進む。また、この最後に長い演習問題があるのでそこで時間がかかりそうである。また、次に必要となるので、「問題：$\mathbb{R}^{n}$ における開集合、閉集合」に問題を追加した。
2023/09/06	中間値の定理まで辿り着いた。位相の連結性と連続写像の概念から中間値の定理が導かれるのは実に面白い。あとは、解析学における中間値のの形を導いて完了としたい。これでいままでよく分からなかった点が1つ明らかになった。
2023/09/07	Sを実数の閉区間とした場合、解析学での中間値の定理となることの説明を追加した。この当たり前に思えることを証明するには、位相空間について考える必要があったのである。もう一度見直して完成させたい。
2023/09/08	実数の連結性に関する部分を完了した。位相の考えから実数を見るのは初めてなので新たな発見があった。次は、弧状連結という概念へ進む。ここもまた難しそうである。
2023/09/09	弧状連結に進んでいるが、この部分では明らに連続、明らかに同相などと記されている部分が多く確かめるのに苦労している。教科書に描かれているyプにこれらのことは明らかなのだろうかと疑問に感じる。証明のようなものを作成したけれどもこれでいいかどうか不安な点がある。この部分は、まだまだ時間がかかりそうである。
2023/09/10	「問題：$\mathbb{R}^{n}$ における開集合、閉集合」に問題を追加した。この問題により、連続性を説明しやすくなった。
2023/09/11	開球体が凸集合であることの証明に手間取ってしまった。直感的には自明なのであるが、それをしっかり示そうと思ったら非常にややこしくなってしまった。もっといい方法があるのかもしれないが、いまは思いつかない。ほとんど自明、自明としか書かれていないのでうんざりする。
2023/09/12	開球体が凸集合であることの証明は、距離関数の性質を使えばスッキリと証明できることが分かったので修正した。いまは、連結であるが弧状連結ではない例の証明で苦労している。図形的には自明なのだけれども、それを示そうとするとなかなかできない。
2023/09/13	内容は一通りできたので、後は図を完成させてまとめたい。明らかと書かれている部分を明らかにすることは手間がかかる作業である。明らかすぎで調べても説明されていないことが多いので困ってしまう。
2023/09/14	ミスを修正し、HTML化した。思ったよりも長くなってしまったので、時間がかかった。次は、演習問題であるのでまた時間がかかりそうである。いろいろなことを次から次へと考えなければならないので、以前の内容を忘れてしまう。困ったことである。
2023/09/15	問題に進んでいるか1つ1つが難しいので時間がかかる。22問もあるので今月中に終わるかどうかであろう。なかなか先に進めない。集合論をはじめて1年になるがここまでしか進めていない。年内に位相空間までは完了したいものである。
2023/09/16	簡単に解けるような問題ではない。各門ごとにいろいろと疑問点が湧いてきて解決するのに時間がかかる。問題の意味を正しく理解することが第1歩である。
2023/09/17	答を見てやっと理解できる段階である。自分ではとても考え方が思いつかない。自力で解けるようになるのは相当の訓練が必要なのだろう。まだ、内容が身についていない証拠である。
2023/09/18	問題9では、どの相対位相における開集合、閉集合を考えているのかが混乱してしまうややこしい問題である。相対位相の考え方をもう一度整理してみる必要がありそうだ。
2023/09/19	「連結位相空間」の部分集合の連結性について【補題2】を追加した。この関係は、問題でよく使うので補題として示すことにした。また、演習では背理法をどのように使うかがポイントである。ある程度のパターンはあるようなのでこれに気が付くことが大切である。
2023/09/20	やっと半分くらいのところまでやってきた。あと2問を解いたら長くなるのでそこでいったんまとめることにする。答を見ても理解するのが難しい。
2023/09/21	あと1問解いたら、ひとますまとめたい。随分と長くなったのでミスのチェックも大変になる。今月中に演習を完了できるかどうかである。年内には第5章まで完了したいのであるが、だんだん難しくなっているので微妙なところである。演習問題に時間がかかりすぎる。
2023/09/22	前半部分は一通り完了した。この後見直しを行って完成させたい。グダグダと書いていたらかなり長くなってしまった。同じことの繰り返しが多いので、同様にと省略してもよかった。
2023/09/23	見直すとかなり多くのミスが見つかった。やっていることには気が付かなかったのだが、時間をおいて見直するミスが見つかる。また、そのときは分かった気になっていただ、もう一度見直すとよく分からない箇所もあった。まだまだミスがありそうであるので、もう一度見直して次に進みたい。
2023/09/24	また大きなミスが見つかったので修正を行った。他にもありそうであるがここで完了とする。また、見つかったときに修正するしかない。次からは凸集合に関する問題となる。凸集合と凸関数は熱力学においても重要な役割を果たしている。ここで出てくるとはびっくりである。
2023/09/25	「弧状連結」における凸集合の定義にミスがあったので修正した。ここから凸集合のいろいろな性質に関する問題が続く。あと4問であるので頑張りたい。
2023/09/26	凸集合に関する証明は、いままでとは少し違った感じの計算よりの証明となっている。急に感じが変わるのでし少し戸惑いを感じた。あと1問にまで迫ってきたのでもう少しである。
2023/09/27	9月中に連結に関する事項を完了することができた。次は、コンパクト性についてである。また難しそうなので10月いっぱいはかかりそうである。
2023/09/28	いよいよコンパクト位相空間に入った。コンパクトの定義を理解するのに苦労した。すべての開被覆に対して、有限個の集合でOKということを示さなければならないことにはじめは気が付かなかった。すべての開被覆について調べなければならないので、コンパクトであることを示すのは大変なことになるようだ。
2023/09/29	有限交叉性という分かりにくい概念が登場して証明に手個づっている。桔梗はコンパクトであることを閉集合を用いて示すことのようだが、初めてだとわかりにくい。
2023/09/30	部分集合のコンパクト性について考えている。直感的には理解できるのであるが、実際証明しようとするとどのように説明すればいいか迷ってします。この部分の詳しい説明がないので、理解するのが難しい。演習問題とせずに説明してほしいものである。
2023/10/01	コンパクト性の定義と導入部分は完了したので、見直しを行って完成させたい。次々に新しい概念が導入されるので大変である。
2023/10/02	ミスの修正をお行いHTML化した。まだ十分に消化できていない気がするが先に進むことにする。年内には距離空間まで辿り着きたい。
2023/10/03	チコノフの定理で難航している。久しぶりに選択公理に関連した定理となり、証明がすぐには理解できない。わかりにくかった有限的性質がでてくるのでここで戸惑っている。また、集合を考えているのか集合系を考えているのが、それとも元を考えているのかが混乱していてまとまりがついていない。じっくりと考える必要があるようだ。
2023/10/04	有限的性質について見直していたら、以前の記述にミスがあることが判明したので修正した。「有限集合が交わる」ではなく「有限個の集合が交わる」としなければならなかった。そのときは意味がよく分かっていなかったようである。有限交叉性との関連で述べられていることが分かっていなかった。
2023/10/05	チコノフの定理の証明を何とかまとめたが非常に難しい。証明のためにいろいろな概念が必要となり話が混乱してします。証明の中にまた証明が入り込んでしまうのでとてもややこしい。このような証明はとても思いつかない。教科書を見てやっと理解できるかどうかのレベルである。もう一度見直しが必要である。
2023/10/06	見直すと性質(a)の証明に曖昧な点があったので、証明方法を変更した。その他ミスを修正しHTML化した。チコノフの定理の証明はかなり難しかった。こんなことはとても思いつきそうにない。
2023/10/07	ハウスドルフ空間をはじめてしっかりと学習した。いままでそんなものかと深く考えることはなかったのだけれども、ここでコンパクト性との関連を知ることができた。
2023/10/08	ミスの修正を行い、HTML化した。閉集合を証明するのにその補集合が開集合であることを示すというのははじめは思いつかない考え方である。よく覚えておこう。
2023/10/09	R の閉区間がコンパクトであることを証明するのに時間がかかった。自明とされていることは、それほど自明ではなかった。数学の教科書はすぐに自明とか、演習問題とするなどと記されているのでここで躓きやすい。
2023/10/10	明らかと簡単に記述されている部分の証明を行っていたら長くなってしまった。もう一度見直しを行って完成させたい。次のコンパクト化が非常に難しそうである。一読しただけでは内にを言っているのか分からない。
2023/10/11	ミスの修正を行ったので、明日には完了させたい。見直すとこれでいいのかと思う部分もある。
2023/10/12	html化を行った。ひとまずはこれで良しとする。次のコンパクト化がかなり難しそうである。完成まで時間がかかりそうだ。年内に距離空間まで辿り着けるか銅かである。
2023/10/13	複素平面に無限遠点を付け加えるということがコンパクト化であることを初めて知った。複素解析でなにげなくやっていたことをもう一度見直してみる必要があるかもしれない。
2023/10/14	コンパクト化の証明は非常に難しい。手順が非常に複雑で途中で何をやっているのかが分からなくなってします。ツォルンの補題の証明と同じくらい難しく感じる。とても思いつくものではない。
2023/10/15	非常に長い証明をなんとかまとめることができた。これは一度だけでは理解するのが難しい。もう一度見直しを行ってミスの修正が必要である。はしがきには、高校生でも理解できると書いてあるが、本当であろうか？
2023/10/16	1点コンパクト化まで完了した。複素平面に無限遠点を追加した場合の説明は長くなりそうなので別の機会に考えうrことにした。次は演習問題に進むことにする。
2023/10/17	今回は3問だけであるので少し助かっている。残りの1問がまた難しくて理解できていない。あと少しなので頑張りたい。
2023/10/18	問3でかなり手個づている。一通りの道筋は付いたのだけれどもスッキリしない点も多い。証明にはかなりの技巧が必要である。答を見てもすぐには分からなかった。もう一度よく見直して完成させたい。
2023/10/20	今回は問題は少なかったのであるが、問3が難しかった。簡単そうでもなかなか証明できないものである。次は、最後の分離公理に関する部分である。最後のウリゾーンの補題が難しそうである。
2023/10/21	分離公理に進んでいるが、最初の部分で引っ掛かる部分がある。単なる言い換えと記されているが納得がいっていない。もう少し考えたい。
2023/10/22	直感的に当たり前と思えるようなことを証明しようとすると戸惑ってしまう。これで証明になってるのかよく分からない。とりあえずこれでいいとして先に進みたい。
2023/10/23	ミスを修正しHTML化した。あと残り2つの分離公理へち進みたい。【定理1】のはじめの部分が証明できているのか不安が残る。時間があればまた考えたい。
2023/10/24	「コンパクト性とハウスドルフ空間」にミスが見つかったので一部修正した。
2023/10/25	正則空間、正規空間という概念を導入しているがこれがどのような意味を持つのかいまのところよく分からない。先に進まなければ意味は分からないのであろう。
2023/10/26	また、非常に長い証明となってしまった。証明の流れを掴むのにかなり苦労した。途中で何をやろうとしているのかが分からなくなる部分が多い。終わってみればなるほどと思うけれども、あのような集合を思いつくことはあり得ないと感じた。
2023/10/27	いくつかのミスが見つかったので修正を行った。もう一度見直して完成させたい。次のウリゾーンの補題が大変そうである。
2023/10/28	見直すと次々と不備が見つかる。切りがないのでここで終了して、次に進むことにする。次がかなり大変そうである。
2023/10/29	位相空間の一般論における最後のテーマであるウリゾーンの補題までやってきた。開集合の系列が存在することを理解するのに時間がかかった。これを利用して、この後どのように証明していくのか楽しみである。しばらく時間がかかりそうである。
2023/10/30	ウリゾーンの補題を一通り証明することができたが、論理が複雑ですぐには理解しがたい。開集合の系列を上手く番号付けることと、連続性を示すのにかなりの技巧が必要となる。もう一度よく見直して見なければならない。また、選択公理との関係性についても考えたい。
2023/10/31	開集合系の構成方法の選択公理による説明を追加した。久しぶりに選択公理の使い方を復習できた感じである。選択公理は空気のように使われているので、気を付けなければ気が付かない。
2023/11/02	いくつかのミスの修正を行った。証明の大まかな流れは理解できたのであるが、細かな点で気になることがあるのでそれについてもう少し検討したい。それが終われば完成させたい。このあとの演習問題が終われば、一般位相空間は一通り完了したことになる。今月いっぱいはかかりそうである。
2023/11/04	まだまだ問題点はあるかもしれないがここで完了とする。次は、演習問題へと進む。ここも時間がかかりそうである。
2023/11/05	「問題：コンパクト性」の問題1でミスが見つかったので修正した。問題に取り組み始めた。12問あるので2週間ぐらいかかりそうである。
2023/11/06	今日は1問のみとなった。理解するのに時間がかかるのでなかなか進まない。
2023/11/07	完全正則空間という新しい概念が登場した。これまでにいろいろな空間が登場しているのでしっかり整理しておくことが必要である。1日1門で解いていければ今月中には完成しそうである。だだ難問があると時間がかかる。
2023/11/08	問題が難しくて1問解くのが大変である。正規空間の部分空間が正規空間でない反例を示そうと思ったが、簡単な反例はないようでかなり難しい反例となるので今回は省略することにした。この反例を理解するだけでもかなりの時間が必要となる。
2023/11/09	問題に関連して見直していると「直積位相」の参考文献にミスがあることが判明したので修正した。いろいろとミスがあるものである。
2023/11/10	次の問題で必要となるため連続であるための条件の異なる表現を「連続写像」に追加した。次の問題はかなりの難問ですぐにはできそうにない。状況を整理するのに時間がかかりそうである。
2023/11/12	証明のための準備に時間がかかった。【問題6】の同相となることの証明が難しかった。この性質を使って1つづつ証明していくことにした。
2023/11/13	1問解くのに非常に時間がかかってしまう。左向きの関係を示すのがなかなか難しい。このままでは今月いっぱいはかかりそうである。
2023/11/14	問題7までをまとめたが、最後の部分でfが連続という部分に不安を感じる。直感的には連続となりそうであるが、きっちりと証明が必要な気がする。この部分をもう一度検討してみる。
2023/11/15	昨日問題かもと思ってた部分は問題なしということが判明した。これであと4問となった。また、難問があると時間がかかりそうである。
2023/11/16	論理がかなり複雑になるので、証明を読んでもすぐには理解できない。それ以前の知識も必要となるのでかなり大変である。もっと筋道をスッキリさせたいのであるが、今は難しい。
2023/11/17	なんとか最後までたどり着いたが、最後の方はごちゃごちゃしてしまってスッキリしない感じである。全体的に見直しが必要である。今回の演習はかなり長くなったので、ミスの修正が大変である。難しい問題ばかりで自力ではほとんど解けなかった。
2023/11/18	【問題11】までのミスを修正した。見直していると疑問に感じる点も出てきて時間がかかる。分かったつもりでも分かっていない可能性がある。時間をおいて見直すことが必要である。
2023/11/19	まだまだミスは残されているであろうが、ひとまずここで完了とする。長い演習問題となった。これで一般の位相空間についての考察は修了となる。非常に抽象的で難しかった。次は、いよいよ距離空間へと進むことになる。その前に、ウリゾーンの距離化定理についてまとめておきたいと考えている。
2023/11/20	ウリゾーンの距離化定理について先にまとめることにした。順番は前後するがウリゾーンの補題の直後の方が分かりやすい気がした。
2023/11/21	少し先走った感じはするが、ウリゾーンの距離化定理の証明をまとめた。論理が複雑であるのでじっくりと考えないと理解できなかった。もう一度見直しを行って完成させたい。
2023/11/22	見直すといろいろとミスが見つかった。書いているときには分からないのだが、時間をおいて見直すとおかしな点がいろいろと見つかってくる。もう一度チェックして完成させたい。
2023/11/23	距離化定理のチェックを終わり完了とした。この定理により、位相空間と距離空間との関係性がハッキリとした。距離空間へ進む前にもう一つまとめておきたいことがあるので、次はそれを行いたい。
2023/11/24	T3, T4 と同値な条件の証明が分かりにくかったのであるが、このような同値性を示す証明方法には1つのパターンがあることが分かった。この手順に従って考えれば、何をやろうとしているのかが分かりやすくなった。基本的な証明パターンを押さえておくことは大事である。また、「正則空間と正規空間」に注を追加した。
2023/11/25	ここからいよいよ最後の章である距離空間へと進む。例によって、「読者の演習とする」が多く記されているので簡単には進めそうにはない。年内に§1ぐらいまで終わらせたいと考えている。これまでの一般論とのつながりを理解することが大切である。
2023/11/26	導入部分が終わったので、次からいよいよややこしくなりそうである。ゆっくりと進んでいくことにする。
2023/11/27	距離空間への位相の導入方法は、以前の$R^n$における場合の復習のような感じとなっている。かなり以前の内容なのでほとんど忘れているのでいい復習になっている。読めば理解できるが、自分で証明できるまでには至っていない。
2023/11/28	少しだけ前進した。第1可算公理の意味は完全に忘れていた。これから第1可算公理の有用性が明らかになるのかもしれない。
2023/11/30	基底となることの証明が正しくできているかどうか少し不安な点がある。もう一度よく見直して考えることにする。以前の内容の繰り返しであるのだが、少し腑に落ちない点もある。
2023/12/01	ミスの修正を行った。もう一度確認して完成させたい。ゆっくり進んでいるので、このペースでは年内にどこまでいけるか分からない。§1は完了したいが、問題数が多いので難しそうな感じがしている。
2023/12/02	ひとまずここで完成として、次に進むことにする。次はまた新しい概念が出てくるので時間がかかりそうである。
2023/12/03	距離空間では点列を考えることができて、その収束から位相が定義できることが分かりおもしろい。距離空間以外でも可能なようなので演習問題で検討したい。
2023/12/04	ミスの修正を行い、html化した。次は、連続写像についてである。ここもまたややこしいのかもしれない。
2023/12/05	写像の連続性に対する必要十分条件の表し方には、いろいろなものがあるので一度整理してまとめておく必要がある。そのときそのときで都合のいい表現を用いることが必要になる。このあたりが難しいところである。
2023/12/06	ミスを修正しhtml化した。証明の論理はなかなか難しい。何に着目するかがなかなか思いつかない。
2023/12/07	この部分の証明は教科書には記述されていないので、この証明で正しいのかどうか確認できない。どこかに矛盾があるかもしれないので、注意が必要である。
2023/12/08	ミスの修正を行い、html化した。とりあえず先に進むことにする。演習問題が多いので、年内の目標達成はかなり微妙なところである。
2023/12/09	部分距離空間では、容易であるので読者自ら確かめよよか、演習問題とすると書かれているだけで、ほとんど証明がないので非常に分かりずらい。容易とかかられているがとても容易とは思えない。証明には非常に時間がかかった。これが容易と思えるようにまで訓練しなければならないのであろうか？
2023/12/10	ミスを修正しHTML化した。これでひとまずは完了とする。次は演習問題であるが、有向集合やフィルターは演習問題ではなく、一つのセクションとして扱った方がいいかもしれない。
2023/12/11	有向集合と有向点列について先に考えることにした。この概念も分かるようでまだピントこない。腑に落ちるところまではいかない感じである。証明の時間がかかりそうである。
2023/12/12	有向点列が収束することの証明には一定のパターンがあるようであるが、まだ慣れないので何をしているのか混乱してしまう点が多い。そのため証明はかなり分かりにくくなっている。最後までまとめたら見直して整理しなければならない。ここはかなり難しい。
2023/12/13	有向集合、有向点列に関する部分を一通り終えたが、Sの部分集合と有向集合の元とが同じ集合であったりして混乱してします。もう一度よく見直して証明の流れを整理してみることが必要である。
2023/12/14	問題：位相空間に近傍と閉包の関係はよく使われるので、【問題7】を追加した。基本的には【問題1】を言いかえたような内容となっている。このようなよく使う関係は、どこかにまとめて整理しておきたいものである。
2023/12/15	有向点列の収束に対する論理式をより明確な形に修正した。また、重複する部分を削除し、少しスッキリとさせた。ミスもかなりあったので修正を行った。もう一度見直しを行って完成させたい。この部分は何をやっていするのかすぐには分からないので、かなり難しかった。
2023/12/16	有向点列の定め方は、選択公理を前提としていることが分かったので、（注）として記述した。この点は気になってたのであるが、明示的に書かれた資料が見つからなかったのであるが、内田の教科書に示されていたので、やはりそうであったかと納得した。有向点列については、いろいろろと興味深い点がまだ多くあるのだけれども、これ以上進むと本題からずれてしまうのでこのあたりで終わりとする。関数解析あたりで必要になるようなので、そのときが来ればまた考えたい。演習問題として、軽く扱えるような内容ではないことが分かった。
2023/12/17	ミスの修正を行い、HTML化した。どこまで行ってもミスはなくならないものである。また、有向点列は奥が深いので、あまり深入りせずに次に進むこととする。次のフィルターの概念もまた奥が深いようである。
2023/12/18	フィルターを近傍系のようなものと捉えると少しはイメージしやすいが、実際にはそれだけではなくもっと奥が深いもののようである。フィルターによる位相空間論が議論できるようなものであるらしい。今回はそのさわり部分が演習問題として示されたようである。もっと先に進んだアドバスとな位相空間では重要となるのだろう。初歩の位相空間論ではそこまで考える必要はなさそうである。ミスの修正が完了したら残された演習問題へ進みたい。
2023/12/19	ミスの修正を行ったので、できるだけ早く完了させたい。演習問題を年内で完了できるかどうか微妙なところである。
2023/12/20	フィルターの部分を終了した。さらに進んだ段階でまたフィルターの概念が必要となるかもしれない。有向点列、フィルターは入門レベルではなく、次のレベルでより詳細に考えるできものである。ここは少し先を急ぐ。
2023/12/21	演習問題に進んでいる。直感的には自明のように思われることを証明しようとするとなかなか難しい。特に、必要十分条件を示すには2倍の手間がかかるのでなかなか進まない。年内に完了できるかどうかはぎりぎりのところである。また、問題：位相空間におけるミスを修正した。
2023/12/22	内点、集積点、孤立点に対する距離空間での表現を考えている。距離空間で考えると孤立点の意味が分かりやすくなった。内点についてはもう少し整理してみる必要がある。
2023/12/23	内点、集積点、孤立点に対する距離空間での表現については、演習問題としてではなく、一つのセクションとしてまとめた方がいいような気がしている。そのため新たなセクションを作成したいと考えている。こんなことをしているのでなかなか進まない。
2023/12/24	内点、集積点、孤立点に関する演習の内容を1つにまとめて1つのセクションとした。この方が全体の構成が分かりやすい。これで、点列と各概念との関係が明確になった。ただし、境界点を点列でうまく表現することはできていない。境界点を点列で表すことに意味があるかどうか分からないが、また考えてみたい。
2023/12/25	距離空間における各点の特徴を一般の位相空間と関連つけて整理することができた。教科書でこのような内容が書かれていればよかったのであるが、演習問題とされていたので理解が難しかった。今回の整理により、点列の収束についても修正が必要となることが分かった。
2023/12/26	演習問題の重複する部分を削除して簡単化した。これでこの部分の演習は完了したので、見直しを行って完成させたい。4月までには距離空間を完了したいものである。
2023/12/27	演習部分の修正を完了し、HTML化した。次は、点列の収束を一部変更したり、その他の分かりにくい部分を修正したい。年内にこの部分の演習問題を終えることができてよかった。有向集合、フィルターなどの新しい概念が次々と登場してきたのでかなり時間がかかってしまった。
2023/12/28	「点列の収束」の内容を大幅に改訂した。論理式を追加て定義を明確にした。また、選択公理が使われていることも明記した。はじめは分からなかったけれども、後から見直すと修正したくなった。
2023/12/29	「誘導位相」の内容を改訂した。逆像を開集合として採用することで位相を導入している点を明確にした。これで誘導位相に意味が分かりやすくなった気がする。
2023/12/30	「相対位相」、「直積位相」が逆像により定義されていることを示す図を追加した。これで誘導位相との関係が分かりやすくなった。
2023/12/31	距離空間の正規性に関する部分へ進んでいる。本日分はほぼ自明な内容であったが、証明しようとすると回りくどくなってしまった。ここからどのように進んでいくのか楽しみである。来年は位相空間を完了したいものである。
2024/01/01	ミスの修正を行い、html化した。ここからまた難しくなっていきそうである。残りあと43ページ程であるが、まだまだゴールは遠い。春までにはゴールにたどり着きたい。
2024/01/02	距離空間になると少し具体性が出てきて安心できる部分も多い。計算的な要素が多いためであろう。それでも根拠を示しながら証明しようとすると面倒な部分もある。
2024/01/03	ミスの修正を行い、html化した。次は、距離空間の正則性についてである。このあとまた演習問題が続くので時間がかかりそうである。
2024/01/04	距離空間の正規性まで完了した。ここから演習問題が12問続くのでかなり時間がかかりそうである。
2024/01/05	演習問題は簡単そうに見えてなかなか上手く証明することができない。着眼点を思いつかない感じである。とりあえずあと8問頑張りたい。
2024/01/06	やはり一筋縄ではいかない。解答をみて何とか理解できるレベルである。以前ならば答を見てもチンプンカンプンだったことを思うと少しは進歩しているのだろうが、自力で証明できるまでには至っていない。ガッカリしてしまう。
2024/01/07	コンパクト性を上手く使う必要がある問題となっている。コンパクトの有難味がまだ十分に実感できていないので上手く解くことができていない。コンパクトと連結の有難味を感じられるようによく復習しておかなければならない。
2024/01/08	演習もあと1問となったが、最後の1問が非常に難しそうである。また、しばらく時間がかかりそうだ。本文よりも演習問題に時間がかかってしまう。
2024/01/09	最後の問12は非常に難しいた野でまだ途中までしか完成していない。これまでのあらゆる知識が必要となる。これだけいままでの命題や定理を活用して考えるのはとても難しい。これまでの結果を十分に理解できていないため応用が利かないためであろう。また、長くなってきたので、分割することも考えたい。
2024/01/10	演習問題が長くなったので2つに分割した。前半部分は完了したが後半の最後の問題がまだ完了していない。この問題は、非常に複雑であるのでよく整理して考えなければならない。
2024/01/11	考える写像が連続かつ全単射であることの証明に手間がかかっている。解答では自明として説明されていないので、その理由を考えているがなかなか難しい。だいぶ整理されていたと思うが完成までには至っていない。あと一歩必要である。いつも演習問題には苦労する。
2024/01/12	凸衆愚に関連した最後の問題を何とか完了した。半径1の閉球体がMに含まれるとして考えている点にまだ疑問が残ろ。この球体はMと交わっていたり、逆にMを含んでいても問題ないかのチェックが必要である。今日のところは話に流れが完了した段階と言えるだろう。細かな点はまだまだ問題があるかもしれない。
2024/01/13	演習の前半部分のミスを修正しHTML化した。この部分はこれでひとまず完了として、後半部分の見直しを行い完成させたい。演習には時間がかかる。
2024/01/14	後半部分を完了した。自明と思われる部分も説明を加えたので長くなってしまった。まだミスはあるかもしれないが、次へ進むこととする。いつもながら演習問題は難しい。
2024/01/15	新しい概念である一様連続へ進んでいる。定義域がコンパクトな距離空間の場合、連続写像は一様連続となることは面白く感じた。もう少し進めばこの意味も実感できるかもしれない。
2024/01/16	連続、一様連続の定義を論理式で表し明確化した。これにより否定命題が分かりやすくなった。また、明らかにと記述している部分の根拠を追加して修正した。もう一度見直しを行って完成させたい。
2024/01/17	合成写像の一様連続性に関する命題を追加して、HTML化した。ここはこれぐらいにして次に進むことにする。次はまた証明が書かれていないので、ややこしくなりそうである。
2024/01/18	次の定理の証明で必要となるので、コンパクト空間と同相な空間はコンパクトであることの証明を追加した。同相の意味から考えれば当然であるが、証明しようと思うと手間がかかる。このことを用いて次に進みたい。
2024/01/19	定理は直ちに証明できると記されているだけであったので、証明に必要な関係を整備するのに時間がかかった。自明と感じられることを示すのはいつも厄介である。次の完備性についてもいくつかの準備が必要である。まず、三角不等式についてまとめた。
2024/01/20	やっと完備性にまでたどり着いた。いままで完備であることの意味がよく分からなかったが、これで実感が湧いてきた。Rが完備であることの証明も何とか理解できた気がする。ただし、証明方法はとても思いつようなものではない。
2024/01/21	容易に示されるから、読者の練習問題とするとされた部分の証明で時間がかかってしまった。考え方は間違っていないと思うが、もう少しスッキリとした説明ができるのではないかと思う。また、検討することにしたい。省略が多いのでなかなか先に進まない。最後の難関に迫りつつあるのだが、まだまだかかりそうである。
2024/01/22	一部の修正を行った。また、ほぼ自明であるがtanh(x)の全単射性、連続性の証明を追加した。余計なことをしておたら時間が過ぎてしまった。明日中には完成させたい。
2024/01/23	ミスの修正を行い、html化した。次の全有界性とは何を意味しているのかいまいちよく分からない。読者への練習問題とするとの記述も多いので、また苦労しそうである。ここにきてなかなか進まなくなってきた。
2024/01/24	全有界の定義にハッキリしない点が感じられるので、ここで止まってしまった。通常の本のように球体ではなくε被覆で一般化して考えているのが分かりにくい原因かもしれない。このあたりをもう少し整理していきたい。部分集合と部分空間の区別も曖昧になってきているのもスッキリしない要因である。
2024/01/25	明らかとされているのだけれども、教科書の定義にしたがって証明しようとすると非常にややこしくなった。被覆を等号ではなく包含関係で定義していればスッキリするのだけれども、このあたりの定義が他の本と違っているような気がして違和感がある。もう少し進めば、また見直しが必要となるかもしれない。
2024/01/26	大幅な修正を行った。これにより他の文献での定義と一致することが確認できたので、少しスッキリした気がする。命題4の商目はもう少しスッキリした方法があるような気がする。また、修正したい。
2024/01/27	細かな点が気になってなかなか進まない。長くなりそうなので、全有界性と点列の関係は別の節とすることにした。とりあえずここまでを見直してまとめておきたい。相変わらず読者の練習とするが多くて困ってしまう。
2024/01/28	距離空間となって具体的にイメージしやすくなるので、一般論の位相空間よりも易しくなるかもと思っていたが、全くそのようなことはなかった。むしろより難しくなっているように感じる。次は、点列と全有界性との関係であるが、これもまた難しそうである。
2024/01/29	全有界性と点列の関係に関する定理の証明は、いつもながら非常に難しい。こんなことはとても思いつきそうにない方法で証明されている。驚きというほかない。理解するのがやっとという感じである。どうすればこのような方法が思いつくのであろうか？
2024/01/30	全有界の論理式での定義に問題があることが分かった。全有界でないことを論理式で表そうとすると、かなり混乱してしまった。以前の全有界の部分を修正する必要が出てきた。全有界を論理式で定義したものをあまり見かけない理由が何となくわかってきた。
2024/01/30	全有界の論理式での定義をより正確なものに修正した。だだし、長くなりすぎるので、証明等ではこれまでの表記を用いることとした。
2024/02/03	全有界性とその否定を論理式で表すことに苦労している。今回すこし表現を改良した。これでいいのかどうかまだ確信が持てない。これにそれほどこだわる必要があるのかとも思う。このあたりで一応完了としたい。
2024/02/04	ミスの修正を行い、html化した。次からは、また演習問題である。ここからは問題数も多いので、またかなり時間がかかりそうである。
2024/02/05	演習問題の中で新しい概念が定義されるので、いつも難しく感じる。今回は一様同値ということが新たに定義され、これに関連した問題が続いている。問題数が多いので、また分割が必要になるかもしれない。なかなか先に進めそうにない。
2024/02/06	演習問題としてではなく新たなセクションとして一様同値を扱うことにした。そのため内容を大幅に修正した。順番としては距離関数の同値の次に扱うべきであったが、演習問題となっていたので後回しとなった。同値と一様同値を区別するのがなかなか難しい。ここでも否定命題を考えなければならないので、混乱してしまう。
2024/02/07	一様同値と合せるために「距離関数の同値」の一部を改訂した。これで同値と一様同値の違いがハッキリしてきた。
2024/02/08	一様同値のまとめを完了した。以前の結果と整合性をとるために苦労した。矛盾が生じているような気がする点もあるのでかなりの見直しが必要であった。これからも進んでいくと見直さなければならない点が出てくることであろう。一様同値を考えて、同値の意味がより明らかになった。
2024/02/09	一様同値の論理式においてδの位置にミスがあったので修正した。演習問題は1問解くのも大変時間がかかる。どこから手を付ければいいかなかなかわからない。ここを突破するのは時間がかかりそうだ。
2024/02/10	問題の意味を理解するので時間がかかる。状況を把握することがすぐには難しい。解答には容易と書いてあるがそれほど容易とは思えない。この演習はいつ終わるかわからない。
2024/02/11	何となく道筋はわかるのであるが、それをきっちりとした文章にまとめるのは難しいことである。書いているうちに矛盾点が現れたりする。論理的な構成力が胎児である。
2024/02/12	長くなりそうなので、全有界性に関する問題は別に扱うこととした。今回の証明法で本当に正しいのか疑問に感じる点もあるが、確認できないのでここで完了とする。また、見直すことがあるかもしれない。次は、全有界性の問題である。なかなか先に進めない。
2024/02/13	全有界に関する問題は本文中で証明した問題があったので、2問のみとなった。それでも証明は簡単なものではない。もう一度見直しを行って完成させたい。これが終われば、いよいよコンパクト距離空間である。残り30ページ程度であるが、最後の難所のようである。
2024/02/14	やっと演習問題が完了したので次に進める。ここからまた難しくなりそうである。まずは、点列コンパクトと完備、全有界性との関係について調べることになる。
2024/02/15	リンデレフの性質と第2可算公理との関係についての定理の証明は非常に難しかった。文章で書かれているのだけれども読んだだけでは何を言っているのか全く分からなかった。いろいろなものを上手く構成して考えなければならないので、初心者にはできない技であろうと思う。こんなことをよく考えつくなとつくづく思う。
2024/02/16	リンデレフの性質と第2可算公理との関係の証明では、明示されていないが選択公理が用いられている。選択公理は空気のように用いられるので、どこで使われているかの注意が必要である。まだ、見逃している箇所があるかもしれない。距離空間を考えるときには選択公理が必須となるようである。
2024/02/17	距離空間のコンパクト性と点列コンパクトが同等であることが証明できた。証明の理解はできるが、自分ではとても証明できない内容である。上手くいくように集合を設定したりするのが難しい。残り20ページ程度となったがここからまだまだ難所が続きそうである。特に、次の完備化は終盤の最大の難所かもしれない。証明に6ページもかかっているので、最後まで辿り着けるかどうか心配である。最後の頑張りどころかもしれない。
2024/02/18	距離空間の完備化に取り掛かっている。コーシー点列の集合やその商集合を考えるなどかなり難しい内容となっている。何をやりたいのかはだんだんと分かりつつあるのだが、細かな点についてはこれでいいのかと感じる部分もある。まずは、流れを掴んでおくことが大切かもしれない。まとめるまではかなりの時間がかかりそうである。
2024/02/19	教科書では自明と書かれていたが、自明とは思えなかったので、二重数列の収束についてまとめた。極限を同時にとるのか、順番にとるのかによって極限値が異なる場合もあるので、かなり注意が必要であることがよく分かった。これは自明でないと思われるのだが、自明として説明が省かれている。
2024/02/20	二重数列の極限の結果を用いて稠密性まで証明できた。次は、完備性の証明である。ここまでで一区切りとして、一意性は次のセクションとしたい。まだしばらく時間がかかりそうである。
2024/02/21	完備化の証明までを完了した。コーシー点列のコーシー点列の極限を考えることになり非常にわかりにくい。状況を理解するのが大変であった。このような考えのもとで完備化が可能であることは理解できた。次は、その一意性の証明であるが、さらにややこしくなりそうな雰囲気である。
2024/02/22	まずは二重数列の極限のHTML化を行った。一意性の証明を行った後にまとめて完備化を完成させる予定である。
2024/02/23	等長写像の性質と距離空間の同型の定義を追加した。この同型の概念の下で完備化の一意性を示すことになる。一意性の証明はこれまた大変そうである。
2024/02/24	完備化の一意性の証明の準備が整った。このあたりになると証明のための準備が大変となる。あと一歩のところまで来ているので頑張りたい。
2024/02/25	完備化の一意性の証明がやっと完了した。完備化の証明はかなり大変な証明で準備に時間がかかった。いろいろと細かな点が気になるのでかなり長くなってしまった。また、全体の流れも分かりにくくなってしまったが、これは仕方がないことかもしれない。もう一度よく見直して完成させたい。この先、演習問題、ノルム空間と続くので最後まで辿り着くのはまだまだ先のこととなりそうである。4月までには無理ということが判明した。
2024/02/26	完備化の前半部分のミスの修正を行い完成させた。次は、後半部分である。それにしても長い証明であった。読み返すだけでも疲れてしまう。まだまだ、難所が続くので気が抜けない。
2024/02/27	完備化の一意性についての証明を完了した。とてつもなく長い証明であった。これはとてもでないが自分ではできそうにない。この考え方を次に生かすことが大切なのだろう。完備化についてはこれでひとまず完了として、演習問題に取り掛かることにする。意味の分からない問題が多いので、時間がかかりそうである。
2024/02/28	演習問題の内容は、ルベーグ被覆補題に関するものであったので、「ルベーグ被覆補題」としてまとめることにした。ルベーグ数の有難味は今はよく分からないのであるが、代数的位相幾何で被覆空化へのパスの持ち上げとかいうことを考えるときに必要となるらしい。これはかなり先の話になりそうである。ここでは、コンパクト性と関係があることを理解できればよいとしたい。
2024/02/29	ルベーグ被覆補題と同値な表現についての証明をおこなった。これは1975年の広島大学の院試の問題だそうだ。これが試験で出たならば、とてもできそうにない。
2024/03/01	ルベーグ被覆補題についてはこれで一旦完了とする。次は、極大フィルターとコンパクト性の関係を考えることになりそうだ。ここも演習とせずに、一つのセクションとして扱うことにする。
2024/03/02	フィルター全体の集合には極大フィルターが存在することがツォルンの補題により証明できることが分かった。久しぶりにツォルンの補題を使ったが使い方は難しかった。1つ1つ丁寧に考えていかないと何をしているのか分からなくなってしまう。これでやっと演習問題に取り掛かることができる。
2024/03/03	フィルターに関する必要な知識をまとめながら進める必要があり、1題解くのに非常に時間がかかっている。次は、コンパクト性との関連を考えることになるのだが、これも難しそうである。フィルターに関する参考文献がほとんどないのでかなり難しい。
2024/03/04	極大フィルターとコンパクト性に関係まで示すことができた。かなり長くなってきたのでここで一旦区切りとし、完全有向点列は次のセクションとする。このあたりのことは演習問題ではなく、本文で説明してほしいものである。
2024/03/05	極大フィルターに関する問題はこれで完了とし、もう一度見直を行って完成させたい。見直すと分かったつもりでもあれと思う点が出てくるのでまた時間がかかってしまう。
2024/03/06	やっと極大フィルターのまとめが完了した。フィルターについての知識が不足していたので時間がかかｘってしまった。現代ではこの概念はあまり使われないのであろうか？これでやっと演習問題があと2問となった。
2024/03/07	演習問題の最終部分に取り掛かっている。完全有向点列については何とか理解できた。次はコンパクト性との関係である。ここが終わればいよいよバナッハ空間となる。
2024/03/08	完全裕子点列とコンパクト性の関係を完了した。コンパクト性の同値な条件がいろいろとあって一度しっかりとまとめておくことが必要である。次はいよいよバナッハ空間からヒルベルト空間へと進むことになる。
2024/03/09	ベクトル空間の公理からノルムにより距離関数が定義できることを確認するのは少々面倒であった。普通にたし算や引き算をやってしまいそうになった。ベクトル空間の公理では、差は定義されていないことに気を付けなければならない。
2024/03/10	はじめはノルム空間の定義だけでまとめることにした。ノルム空間の例をかんがえるためには、まずベクトル空間であることを示さなければならないので、例を含めると長くなるためである。次の無限列がベクトル空間となることを示すのに手間がかかりそうである。
2024/03/11	ベクトル空間であることの証明に必要となるミンコフスキーの不等式の証明を行った。抽象的な話が続いているので、久しぶりに計算を行った気がする。この不等式を使って$l^2$がベクトル空間そしてノルム空間となることを示すことになる。
2024/03/12	ベクトル空間の公理を満たすことを1つ1つ確認していると非常に手間のかかる作業となっている。自明と思われる部分も多いのであるが一度確認しておくのがいいだろう。
2024/03/13	Rにおける有界な部分集合に対するいろいろな表現方法があるので混乱してしまった。一度このあたりをまとめておく必要がある。3つの例でベクトル空間の公理を満たすことが確認できた。1つ1つ確認していくのは面倒であった。
2024/03/14	ベクトル空間の例を確認できたので、次はこれらがノルム空間となることを確認していきたい。これが終わればいよいよバナッハ空間である。この部分が関数解析の入門部分である。
2024/03/15	ベクトル空間の例を1つ追加した。このベクトル空間が今後重要となる空間らしい。例で示したベクトル空間が乗るく空間となることを確認した。1つ1つ確認する必要があるので手間がかかる。ここに示した以外にも多くの例があるようであるが、今はここまでとする。
2024/03/16	ノルム空間の代表的な例について確認が完了した。次は、バナッハ空間となることの証明である。完備性を証明する必要があり、かなり厄介である。いよいろ残り10ページであるが、ここからがまだまだ大変である。
2024/03/17	いままでよく分からなかったバナッハ空間というものがどのようなものであるのかがやっと理解できた気がする。バナッハ空間となることの証明はこれまで行ってきたことを活用する必要がありなかなか難しい。順番にここまで進んでこなければ理解できなかったであろう。やはり積み重ねが大事である。次は、もう一つの重要な野るみ空間がバナッハ空間となることの証明に進む。
2024/03/18	バナッハ空間となることの証明はなかなか大変である。2つの段階でコーシー点列となることを示し、それが収束することを示さなければならないので手間がかかるし、混乱してしまう。あと少しでこの部分も終わるので頑張りたい。その後は、嫌がらせのような演習問題が続いていく。
2024/03/19	バナッハ空間まで完了した。次は長い演習問題である。ここで普通の意味でのヒルベルト空間をもう一度考えることになる。また、新たなセクションとして考えた方がいいかもしれない。かなり時間がかかりそうである。
2024/03/20	演習問題に取り組んでいるが2問目で苦しんでいる。連続写像となることを上手く説明できていない。直積空間での距離関数は定義できていないので、これを用いない方法を考えることが必要である。
2024/03/21	ノルムに関連した問題が続いている。あと1問を完了したらひとまずまとめることにしたい。まだまだ先は長い。
2024/03/22	長くなってきたので、ノルムに関連した問題で一区切りとした。次は、バナッハ空間の問題となる。これが終われば内積を考えていくことになる。
2024/03/23	演習問題としてバナッハ空間となる例を考えることとなった。基本的には同じことの繰り返しであるが、完備性を示すのは難しく手間がかかる。
2024/03/24	可分性の証明に時間がかかった。可算集合でかつ閉包が全体に等しいことを示すのは難しいかった。答を見てもはじめのうちは理解できなかった。
2024/03/25	可分性の証明に手間取ったが、バナッハ空間に関する問題を完了した。次は内積に関する問題であるが、ここは演習としてではなく、新たなセクションとして考えていきたい。
2024/03/26	実ベクトル空間での内積についてまとめている。複素ベクトル空間ではないので若干簡単となっている。同じことの繰り返しが多くなるが我慢が必要である。
2024/03/27	内積とノルムの関係までを完了した。次は直交性と基底などに進むことになる。このあたりは線形代数的な内容になってきている。あと少しなので何とかここを頑張りたい。この演習が終われば、いよいよ最後のセクションとなる。
2024/03/28	グラム・シュミットの正規直交化法まで完了した。よく知っている方法であるが、いざ証明しようとすると困ってしまった。
2024/03/29	内積もあと1歩のところまで来ているが、随分と長くなってしまったので見直しが大変である。あらためて証明しようとすると説明が難しい部分もある。
2024/03/30	かなり長くなってしまったのでミスも多くなっている。無限級数の収束についての取り扱いに不十分な点があるようなので、この部分の修正が必要となりそうだ。完成まではまだ時間がかかりそうである。
2024/03/31	無限級数の収束をより正確に扱えるように修正した。長くなったのでもう一度よく見直して完成させたい。
2024/04/01	中線定理の注を忘れていたので、これから付け加えることにする。内積にかなりの時間がかかってしまった。
2024/04/02	パップスの定理の説明を追加したので、これで完了とする。次はいよいよ最終セクションである。長かった旅も終着点に近づいてきた。ハジマタ頃は、ここまで来れるとは思わなかった。最後の難所を乗り越えたい。
2024/04/03	簡単に説明されていたのでそんなものかと思っていたが、よく考えると分からなくなり【命題1】の証明ができていない。これはどのように示さばいいのであろうか？当たり前のようにも思うのだが疑問が残る。まだまだ考えなければならない。
2024/04/04	【命題1】の証明が完了したつもりであるが、この証明で正しいかどうか判断できない。どこかに矛盾がある可能性があるので注意が必要である。
2024/04/05	本題に入る前の予備的な注意の証明に手こずっている。証明が省略されているので、これでいいのかと不安が残る。次は、いよいよ本題であるがかなりややこしそうである。
2024/04/06	準備段階の最後まで辿り着いた。見直しを行ってミスの修正が必要となる。相変わらず証明には複雑な議論が必要である。とても思いつきそうにない証明方法である。
2024/04/07	見直しを行って、html化した。この準備が次にどのように役に立つのか楽しみである。いよいよ最後のセクションとなる。集合の直積に対する疑問から始まった長い旅もやっと終わりに近づいた。あと一歩であるので最後まで頑張りたい。
2024/04/08	本文としては最後のウリゾーンの距離化定理にたどり着いた。今回はヒルベルト立方体への埋め込みを考えるためにかなりの準備をしていたことがここにきて理解できた。証明方法はすぐには分かりずらいので、もう少し修正した方がいいかもしれない。
2024/04/09	ヒルベルト立方体への埋め込みを行っていることを明確にするため内容の変更を行った。この方が何をしたいのかが明確になった気がする。これで教科書の本文は終了となり、残り演習問題1問となった。ついにここまでやってきたという感じとともに、これで終わってしまうという寂しさもある。本当に長い旅路であった。次は、最後の1問に取り組みたい。
2024/04/10	教科書の最後の演習問題を完了した。まだ、論理が怪しい点もあるのでもう一度見直して完成させたい。とうとう最後まで辿り着いてしまった。1年半以上かかってしまったが、数学の考え方が以前に比べてよく理解できるようになった気がする。いままで分からなかった概念も何となく分かってきたようである。これを完成させたら、次は商位相など教科書では取り上げられなかった事柄を補足していきたい。
2024/04/11	とうとう教科書の内容は終わってしまった。予定より長い期間を必要としたが、終わってしまうと名残惜しい気がする。この後は商位相など抜けている部分を補って、位相空間論を完了としたい。次は、測度論からルベーグ積分、関数解析、ヒルベルト空間論へと進むか、線形代数へ戻ってテンソル積を考えるかどちらに進むか迷うところである。
2024/04/13	商位相について考えているが、手元には商位相について詳しく書かれた本がないので、どのようにまとめればいいか困っている。入門書では商位相までは扱われないことが多いようである。
2024/04/14	商位相は像位相、相対位相は逆像位相の重要な例となっていることが分かってきた。これは今まで知らなかった観点で面白く感じる。いろいろな見方があるのは非常に興味深い。
2024/04/15	逆像位相は以前考えたものであるがあらためて見直すと違って見えてくる。教科書によって見え方が違ってくるのは面白いことである。相対位相について復習してこの部分は終わりとしたい。また、問題：相対位相・部分空間において閉集合を開集合と書いているミスを修正した。
2024/04/16	逆像位相として相対位相が定義できることを確認できた。逆像の考え方を復習する必要があった。これでひとまず完了であるが、随分と長くなってしまったので、よく見直しておかなければならない。どこかにミスがあるはずである。
2024/04/17	見直しを行いミスを修正した。明日ぐらいには完成させたと考えている。
2024/04/18	像位相、逆像位相についてのまとめを完了した。次は、商位相について考えたい。まとまった文献がなかを調べなければならない。また、「天球座標」の記述にミスがあるとの連絡をいただいたので修正を行った。
2024/04/19	商位相についてこれといった1冊の教科書が見つかっていないので、いろいろな文献をもとにまとめている。そのため混乱が生じる可能性が高い。うまくまとまるかどうか心配なところである。
2024/04/20	商位相において何が重要なのかがよく分からないのでどのようにまとめればいいのか困っている。いまのところ何を言いたいのかよく分からない状態である。商位相の気持ちのような話は何処かに書かれていないであろうか？
2024/04/21	商写像の例を考えるだけでも一苦労である。この写像の意味がいまひとつよく分からない。今後の応用でその意味が分かるのかもしれない。
2024/04/22	3冊の本を参考まとめているので、かなりややこしくなってきた。全体の流れが分かりにくい気がする。かなり長くなっているので、商空間の例は別のセクションにまとめるのがいいような気がしている。まだしばらく修正が続きそうである。
2024/04/23	だらだらと書いていると非常に長くなってしまったのでここで一区切りとする。見直しを行ってミスの修正をしなければならない。これだけ長くなると見直しが大変になる。
2024/04/24	だかなり長くなってしまったので、まだミスが残っている可能性はあるが、ひとまず完了とする。次は、商空間の例をいくつか考えたいがこれがまた難しいのである。
2024/04/25	商位相の応用例をまとめようとしているが、その前に同相写像の性質を証明する必要が出てきたので、まずそれに取り掛かっている。証明しようとすると混乱しやすくて分かりにくくなってしまう。スッキリとまとめることが難しい。
2024/04/26	【例1】の証明で止まっている。文献[2]の証明では簡単に書かれているけれどもよく考えると分からなくなる。なぜ同相写像になるのか、なぜ閉集合となるのかの説明がないのでここで詰まってしまった。この本は説明が丁寧でないので理解するのが難しい。松阪先生の本に慣れていると難しく感じてしまう。まだしばらく考えることが必要となる。
2024/04/27	【例1】の証明に必要となると思い準備しておいた命題は必要ではない可能性が出てきた。また、【例1】の前半部分で足止めされていて先に進めない。困ったものである。
2024/04/28	同相写像が必要ではないともっていたが、やはり必要であることが判明したので大幅に修正した。これで前半部分はできたのであるが、後半部分に不明な点が多く停滞している。参考にしている文献の説明が不親切であるのでよく分からない点が多い。初心者にはよくない教科書かもしれない。今から思うと松阪の教科書は丁寧で分かりやすかった。
2024/04/30	後半部分の証明を理解するのに昨日1日を費やした。何とか理解できたので最後までまとめることができた。そのため内容を大幅に変更した。話の順番を入れ替えた方がいいような気がするので、まだまだ改訂が必要かもしれない。簡単そうな例であったが、きっちりと証明するのは難しいものである。
2024/05/01	証明の見通しをよくしようといろいろ入れ替えていたら参考文献の番号がおかしくなってしまった。また、逆写像の連続性を示す部分がまだ納得がいっていないので、ここを終始したいと考えている。なかなか完成しそうにない。
2024/05/02	連続性の証明を修正した。また、気になる点を（注）で説明した。ひとまずこれで完成としたい。見直しを行って完成させることにする。簡単な例題と思っていたが、いろいろ考えると難しかった。
2024/05/03	ミスを修正し、HTML化した。まだまだミスがある可能性は高いが、この例はここで完了とする。かなり時間がかかってしまった。

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